Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 3385 / 1331
↖ ↑ ↗
← N 53.173119°
E117.509765°		 ← 5 857.92 m → N 53.173119°
E117.597656°		 →
↑
5 861.51 m
↓
↑
5 861.51 m
↓
N 53.120405°
E117.509765°		 ← 5 865.12 m →
34 357 354 m²		 N 53.120405°
E117.597656°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3385 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1331 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.8265380859375 y=0.3250732421875 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.8265380859375 × 212)
    floor (0.8265380859375 × 4096)
    floor (3385.5)     		tx = 3385
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.3250732421875 × 212)
    floor (0.3250732421875 × 4096)
    floor (1331.5)     		ty = 1331
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 3385 / 1331 ti = "12/3385/1331"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/3385/1331.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3385 ÷ 212
    3385 ÷ 4096     		x = 0.826416015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1331 ÷ 212
    1331 ÷ 4096     		y = 0.324951171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.826416015625 × 2 - 1) × π
    0.65283203125 × 3.1415926535     		Λ = 2.05093231
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.324951171875 × 2 - 1) × π
    0.35009765625 × 3.1415926535     		Φ = 1.09986422488257
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.05093231} λ = 2.05093231}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.09986422488257))-π/2
    2×atan(3.00375816064122)-π/2
    2×1.24942116520878-π/2
    2.49884233041755-1.57079632675     		φ = 0.92804600
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.05093231} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 117.509765°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.92804600 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.173119°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3385 KachelY 1331 2.05093231 0.92804600 117.509765 53.173119
    Oben rechts KachelX + 1 3386 KachelY 1331 2.05246629 0.92804600 117.597656 53.173119
    Unten links KachelX 3385 KachelY + 1 1332 2.05093231 0.92712597 117.509765 53.120405
    Unten rechts KachelX + 1 3386 KachelY + 1 1332 2.05246629 0.92712597 117.597656 53.120405
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.92804600-0.92712597) × R
    0.000920030000000072 × 6371000     		dl = 5861.51113000046m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.92804600-0.92712597) × R
    0.000920030000000072 × 6371000     		dr = 5861.51113000046m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.05093231-2.05246629) × cos(0.92804600) × R
    0.00153398000000005 × 0.599399205355641 × 6371000     		do = 5857.92039000352m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.05093231-2.05246629) × cos(0.92712597) × R
    0.00153398000000005 × 0.600135389807178 × 6371000     		du = 5865.11511076879m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.92804600)-sin(0.92712597))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.599399205355641-0.600135389807178)×R²
    abs(2.05246629-2.05093231)×0.000736184451536559×R²
    0.00153398000000005×0.000736184451536559×6371000²
    0.00153398000000005×0.000736184451536559×40589641000000     		ar = 34357353.9560798m²