Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 33848 / 34696
↖ ↑ ↗
← S 10.531020°
E  5.932617°		 ← 600.56 m → S 10.531020°
E  5.938111°		 →
↑
600.53 m
↓
↑
600.53 m
↓
S 10.536421°
E  5.932617°		 ← 600.55 m →
360 653 m²		 S 10.536421°
E  5.938111°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 33848 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 34696 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.516487121582031 y=0.529426574707031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.516487121582031 × 216)
    floor (0.516487121582031 × 65536)
    floor (33848.5)     		tx = 33848
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.529426574707031 × 216)
    floor (0.529426574707031 × 65536)
    floor (34696.5)     		ty = 34696
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 33848 / 34696 ti = "16/33848/34696"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/33848/34696.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 33848 ÷ 216
    33848 ÷ 65536     		x = 0.5164794921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 34696 ÷ 216
    34696 ÷ 65536     		y = 0.5294189453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5164794921875 × 2 - 1) × π
    0.032958984375 × 3.1415926535     		Λ = 0.10354370
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5294189453125 × 2 - 1) × π
    -0.058837890625 × 3.1415926535     		Φ = -0.184844684934937
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.10354370} λ = 0.10354370}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.184844684934937))-π/2
    2×atan(0.831233376892834)-π/2
    2×0.693497677029488-π/2
    1.38699535405898-1.57079632675     		φ = -0.18380097
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.10354370} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 5.932617°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.18380097 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -10.531020°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 33848 KachelY 34696 0.10354370 -0.18380097 5.932617 -10.531020
    Oben rechts KachelX + 1 33849 KachelY 34696 0.10363958 -0.18380097 5.938111 -10.531020
    Unten links KachelX 33848 KachelY + 1 34697 0.10354370 -0.18389523 5.932617 -10.536421
    Unten rechts KachelX + 1 33849 KachelY + 1 34697 0.10363958 -0.18389523 5.938111 -10.536421
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.18380097--0.18389523) × R
    9.42599999999849e-05 × 6371000     		dl = 600.530459999904m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.18380097--0.18389523) × R
    9.42599999999849e-05 × 6371000     		dr = 600.530459999904m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.10354370-0.10363958) × cos(-0.18380097) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.983156101419139 × 6371000     		do = 600.562359622865m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.10354370-0.10363958) × cos(-0.18389523) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.983138869355719 × 6371000     		du = 600.551833391421m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.18380097)-sin(-0.18389523))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.983156101419139-0.983138869355719)×R²
    abs(0.10363958-0.10354370)×1.72320634197476e-05×R²
    9.58799999999926e-05×1.72320634197476e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×1.72320634197476e-05×40589641000000     		ar = 360652.82968871m²