Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 33847 / 23462
↖ ↑ ↗
← N 45.437008°
E  5.927124°		 ← 428.59 m → N 45.437008°
E  5.932617°		 →
↑
428.64 m
↓
↑
428.64 m
↓
N 45.433154°
E  5.927124°		 ← 428.61 m →
183 716 m²		 N 45.433154°
E  5.932617°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 33847 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 23462 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.516471862792969 y=0.358009338378906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.516471862792969 × 216)
    floor (0.516471862792969 × 65536)
    floor (33847.5)     		tx = 33847
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.358009338378906 × 216)
    floor (0.358009338378906 × 65536)
    floor (23462.5)     		ty = 23462
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 33847 / 23462 ti = "16/33847/23462"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/33847/23462.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 33847 ÷ 216
    33847 ÷ 65536     		x = 0.516464233398438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 23462 ÷ 216
    23462 ÷ 65536     		y = 0.358001708984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.516464233398438 × 2 - 1) × π
    0.032928466796875 × 3.1415926535     		Λ = 0.10344783
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.358001708984375 × 2 - 1) × π
    0.28399658203125 × 3.1415926535     		Φ = 0.892201575728485
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.10344783} λ = 0.10344783}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.892201575728485))-π/2
    2×atan(2.4404966794175)-π/2
    2×1.18191086183516-π/2
    2.36382172367032-1.57079632675     		φ = 0.79302540
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.10344783} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 5.927124°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.79302540 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 45.437008°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 33847 KachelY 23462 0.10344783 0.79302540 5.927124 45.437008
    Oben rechts KachelX + 1 33848 KachelY 23462 0.10354370 0.79302540 5.932617 45.437008
    Unten links KachelX 33847 KachelY + 1 23463 0.10344783 0.79295812 5.927124 45.433154
    Unten rechts KachelX + 1 33848 KachelY + 1 23463 0.10354370 0.79295812 5.932617 45.433154
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.79302540-0.79295812) × R
    6.72800000000029e-05 × 6371000     		dl = 428.640880000018m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.79302540-0.79295812) × R
    6.72800000000029e-05 × 6371000     		dr = 428.640880000018m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.10344783-0.10354370) × cos(0.79302540) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.701692994978812 × 6371000     		do = 428.58549962772m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.10344783-0.10354370) × cos(0.79295812) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.701740929006809 × 6371000     		du = 428.614777145788m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.79302540)-sin(0.79295812))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.701692994978812-0.701740929006809)×R²
    abs(0.10354370-0.10344783)×4.79340279969653e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.79340279969653e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.79340279969653e-05×40589641000000     		ar = 183715.54055537m²