Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 33842 / 22447
↖ ↑ ↗
← N 49.214009°
E  5.899658°		 ← 398.99 m → N 49.214009°
E  5.905151°		 →
↑
399.02 m
↓
↑
399.02 m
↓
N 49.210420°
E  5.899658°		 ← 399.02 m →
159 208 m²		 N 49.210420°
E  5.905151°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 33842 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22447 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.516395568847656 y=0.342521667480469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.516395568847656 × 216)
    floor (0.516395568847656 × 65536)
    floor (33842.5)     		tx = 33842
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.342521667480469 × 216)
    floor (0.342521667480469 × 65536)
    floor (22447.5)     		ty = 22447
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 33842 / 22447 ti = "16/33842/22447"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/33842/22447.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 33842 ÷ 216
    33842 ÷ 65536     		x = 0.516387939453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22447 ÷ 216
    22447 ÷ 65536     		y = 0.342514038085938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.516387939453125 × 2 - 1) × π
    0.03277587890625 × 3.1415926535     		Λ = 0.10296846
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.342514038085938 × 2 - 1) × π
    0.314971923828125 × 3.1415926535     		Φ = 0.989513481957199
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.10296846} λ = 0.10296846}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.989513481957199))-π/2
    2×atan(2.68992545667675)-π/2
    2×1.21487141014295-π/2
    2.42974282028589-1.57079632675     		φ = 0.85894649
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.10296846} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 5.899658°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.85894649 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.214009°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 33842 KachelY 22447 0.10296846 0.85894649 5.899658 49.214009
    Oben rechts KachelX + 1 33843 KachelY 22447 0.10306433 0.85894649 5.905151 49.214009
    Unten links KachelX 33842 KachelY + 1 22448 0.10296846 0.85888386 5.899658 49.210420
    Unten rechts KachelX + 1 33843 KachelY + 1 22448 0.10306433 0.85888386 5.905151 49.210420
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.85894649-0.85888386) × R
    6.26299999999524e-05 × 6371000     		dl = 399.015729999697m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.85894649-0.85888386) × R
    6.26299999999524e-05 × 6371000     		dr = 399.015729999697m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.10296846-0.10306433) × cos(0.85894649) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.653235500670102 × 6371000     		do = 398.988254739116m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.10296846-0.10306433) × cos(0.85888386) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.653282919993597 × 6371000     		du = 399.017217881969m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.85894649)-sin(0.85888386))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.653235500670102-0.653282919993597)×R²
    abs(0.10306433-0.10296846)×4.74193234951681e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.74193234951681e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.74193234951681e-05×40589641000000     		ar = 159208.368152888m²