Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 3384 / 3127
↖ ↑ ↗
← S 68.366801°
E117.421875°		 ← 3 602.94 m → S 68.366801°
E117.509765°		 →
↑
3 600.38 m
↓
↑
3 600.38 m
↓
S 68.399180°
E117.421875°		 ← 3 597.81 m →
12 962 712 m²		 S 68.399180°
E117.509765°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3384 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3127 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.8262939453125 y=0.7635498046875 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.8262939453125 × 212)
    floor (0.8262939453125 × 4096)
    floor (3384.5)     		tx = 3384
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.7635498046875 × 212)
    floor (0.7635498046875 × 4096)
    floor (3127.5)     		ty = 3127
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 3384 / 3127 ti = "12/3384/3127"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/3384/3127.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3384 ÷ 212
    3384 ÷ 4096     		x = 0.826171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3127 ÷ 212
    3127 ÷ 4096     		y = 0.763427734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.826171875 × 2 - 1) × π
    0.65234375 × 3.1415926535     		Λ = 2.04939833
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.763427734375 × 2 - 1) × π
    -0.52685546875 × 3.1415926535     		Φ = -1.6551652700813
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.04939833} λ = 2.04939833}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.6551652700813))-π/2
    2×atan(0.191060476515502)-π/2
    2×0.188785274333738-π/2
    0.377570548667477-1.57079632675     		φ = -1.19322578
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.04939833} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 117.421875°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19322578 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.366801°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3384 KachelY 3127 2.04939833 -1.19322578 117.421875 -68.366801
    Oben rechts KachelX + 1 3385 KachelY 3127 2.05093231 -1.19322578 117.509765 -68.366801
    Unten links KachelX 3384 KachelY + 1 3128 2.04939833 -1.19379090 117.421875 -68.399180
    Unten rechts KachelX + 1 3385 KachelY + 1 3128 2.05093231 -1.19379090 117.509765 -68.399180
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19322578--1.19379090) × R
    0.000565120000000086 × 6371000     		dl = 3600.37952000055m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19322578--1.19379090) × R
    0.000565120000000086 × 6371000     		dr = 3600.37952000055m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.04939833-2.05093231) × cos(-1.19322578) × R
    0.00153398000000005 × 0.368663229726192 × 6371000     		do = 3602.94079665364m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.04939833-2.05093231) × cos(-1.19379090) × R
    0.00153398000000005 × 0.368137856227506 × 6371000     		du = 3597.8063285015m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19322578)-sin(-1.19379090))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.368663229726192-0.368137856227506)×R²
    abs(2.05093231-2.04939833)×0.000525373498685922×R²
    0.00153398000000005×0.000525373498685922×6371000²
    0.00153398000000005×0.000525373498685922×40589641000000     		ar = 12962711.5840387m²