Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 33837 / 35810
↖ ↑ ↗
← S 16.478230°
E  5.872192°		 ← 585.76 m → S 16.478230°
E  5.877686°		 →
↑
585.75 m
↓
↑
585.75 m
↓
S 16.483498°
E  5.872192°		 ← 585.75 m →
343 105 m²		 S 16.483498°
E  5.877686°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 33837 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 35810 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.516319274902344 y=0.546424865722656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.516319274902344 × 216)
    floor (0.516319274902344 × 65536)
    floor (33837.5)     		tx = 33837
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.546424865722656 × 216)
    floor (0.546424865722656 × 65536)
    floor (35810.5)     		ty = 35810
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 33837 / 35810 ti = "16/33837/35810"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/33837/35810.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 33837 ÷ 216
    33837 ÷ 65536     		x = 0.516311645507812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 35810 ÷ 216
    35810 ÷ 65536     		y = 0.546417236328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.516311645507812 × 2 - 1) × π
    0.032623291015625 × 3.1415926535     		Λ = 0.10248909
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.546417236328125 × 2 - 1) × π
    -0.09283447265625 × 3.1415926535     		Φ = -0.291648097288422
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.10248909} λ = 0.10248909}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.291648097288422))-π/2
    2×atan(0.747031372089746)-π/2
    2×0.641598478086039-π/2
    1.28319695617208-1.57079632675     		φ = -0.28759937
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.10248909} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 5.872192°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.28759937 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -16.478230°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 33837 KachelY 35810 0.10248909 -0.28759937 5.872192 -16.478230
    Oben rechts KachelX + 1 33838 KachelY 35810 0.10258497 -0.28759937 5.877686 -16.478230
    Unten links KachelX 33837 KachelY + 1 35811 0.10248909 -0.28769131 5.872192 -16.483498
    Unten rechts KachelX + 1 33838 KachelY + 1 35811 0.10258497 -0.28769131 5.877686 -16.483498
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.28759937--0.28769131) × R
    9.19399999999571e-05 × 6371000     		dl = 585.749739999726m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.28759937--0.28769131) × R
    9.19399999999571e-05 × 6371000     		dr = 585.749739999726m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.10248909-0.10258497) × cos(-0.28759937) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.958927579153408 × 6371000     		do = 585.762330938631m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.10248909-0.10258497) × cos(-0.28769131) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.958901496226296 × 6371000     		du = 585.746398144002m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.28759937)-sin(-0.28769131))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.958927579153408-0.958901496226296)×R²
    abs(0.10258497-0.10248909)×2.60829271120366e-05×R²
    9.58799999999926e-05×2.60829271120366e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×2.60829271120366e-05×40589641000000     		ar = 343105.46697566m²