Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 33835 / 101685
↖ ↑ ↗
← S 69.950084°
W 87.069397°		 ← 104.69 m → S 69.950084°
W 87.066651°		 →
↑
104.68 m
↓
↑
104.68 m
↓
S 69.951025°
W 87.069397°		 ← 104.69 m →
10 958 m²		 S 69.951025°
W 87.066651°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 33835 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 101685 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.258144378662109 y=0.775798797607422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.258144378662109 × 217)
    floor (0.258144378662109 × 131072)
    floor (33835.5)     		tx = 33835
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.775798797607422 × 217)
    floor (0.775798797607422 × 131072)
    floor (101685.5)     		ty = 101685
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 33835 / 101685 ti = "17/33835/101685"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/33835/101685.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 33835 ÷ 217
    33835 ÷ 131072     		x = 0.258140563964844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 101685 ÷ 217
    101685 ÷ 131072     		y = 0.775794982910156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.258140563964844 × 2 - 1) × π
    -0.483718872070312 × 3.1415926535     		Λ = -1.51964765
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.775794982910156 × 2 - 1) × π
    -0.551589965820312 × 3.1415926535     		Φ = -1.73287098436541
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.51964765} λ = -1.51964765}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.73287098436541))-π/2
    2×atan(0.176776159139824)-π/2
    2×0.174968525756004-π/2
    0.349937051512008-1.57079632675     		φ = -1.22085928
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.51964765} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -87.069397°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22085928 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.950084°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 33835 KachelY 101685 -1.51964765 -1.22085928 -87.069397 -69.950084
    Oben rechts KachelX + 1 33836 KachelY 101685 -1.51959972 -1.22085928 -87.066651 -69.950084
    Unten links KachelX 33835 KachelY + 1 101686 -1.51964765 -1.22087571 -87.069397 -69.951025
    Unten rechts KachelX + 1 33836 KachelY + 1 101686 -1.51959972 -1.22087571 -87.066651 -69.951025
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22085928--1.22087571) × R
    1.64300000000672e-05 × 6371000     		dl = 104.675530000428m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22085928--1.22087571) × R
    1.64300000000672e-05 × 6371000     		dr = 104.675530000428m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.51964765--1.51959972) × cos(-1.22085928) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.34283867025296 × 6371000     		do = 104.689912311009m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.51964765--1.51959972) × cos(-1.22087571) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.342823235958379 × 6371000     		du = 104.685199263484m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22085928)-sin(-1.22087571))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.34283867025296-0.342823235958379)×R²
    abs(-1.51959972--1.51964765)×1.54342945811181e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.54342945811181e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.54342945811181e-05×40589641000000     		ar = 10958.2253867944m²