Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 3383 / 3176
↖ ↑ ↗
← S 69.900118°
E117.333984°		 ← 3 358.56 m → S 69.900118°
E117.421875°		 →
↑
3 356.12 m
↓
↑
3 356.12 m
↓
S 69.930300°
E117.333984°		 ← 3 353.73 m →
11 263 611 m²		 S 69.930300°
E117.421875°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3383 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3176 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.8260498046875 y=0.7755126953125 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.8260498046875 × 212)
    floor (0.8260498046875 × 4096)
    floor (3383.5)     		tx = 3383
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.7755126953125 × 212)
    floor (0.7755126953125 × 4096)
    floor (3176.5)     		ty = 3176
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 3383 / 3176 ti = "12/3383/3176"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/3383/3176.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3383 ÷ 212
    3383 ÷ 4096     		x = 0.825927734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3176 ÷ 212
    3176 ÷ 4096     		y = 0.775390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.825927734375 × 2 - 1) × π
    0.65185546875 × 3.1415926535     		Λ = 2.04786435
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.775390625 × 2 - 1) × π
    -0.55078125 × 3.1415926535     		Φ = -1.73033032868555
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.04786435} λ = 2.04786435}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.73033032868555))-π/2
    2×atan(0.177225857515075)-π/2
    2×0.175404563347454-π/2
    0.350809126694908-1.57079632675     		φ = -1.21998720
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.04786435} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 117.333984°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.21998720 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.900118°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3383 KachelY 3176 2.04786435 -1.21998720 117.333984 -69.900118
    Oben rechts KachelX + 1 3384 KachelY 3176 2.04939833 -1.21998720 117.421875 -69.900118
    Unten links KachelX 3383 KachelY + 1 3177 2.04786435 -1.22051398 117.333984 -69.930300
    Unten rechts KachelX + 1 3384 KachelY + 1 3177 2.04939833 -1.22051398 117.421875 -69.930300
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.21998720--1.22051398) × R
    0.000526779999999949 × 6371000     		dl = 3356.11537999967m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.21998720--1.22051398) × R
    0.000526779999999949 × 6371000     		dr = 3356.11537999967m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.04786435-2.04939833) × cos(-1.21998720) × R
    0.0015339799999996 × 0.343657766759656 × 6371000     		do = 3358.56274265402m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.04786435-2.04939833) × cos(-1.22051398) × R
    0.0015339799999996 × 0.343163022658756 × 6371000     		du = 3353.72761519539m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.21998720)-sin(-1.22051398))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.343657766759656-0.343163022658756)×R²
    abs(2.04939833-2.04786435)×0.000494744100900169×R²
    0.0015339799999996×0.000494744100900169×6371000²
    0.0015339799999996×0.000494744100900169×40589641000000     		ar = 11263610.7129695m²