Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 33824 / 34675
↖ ↑ ↗
← S 10.417586°
E  5.800781°		 ← 600.78 m → S 10.417586°
E  5.806275°		 →
↑
600.79 m
↓
↑
600.79 m
↓
S 10.422989°
E  5.800781°		 ← 600.77 m →
360 938 m²		 S 10.422989°
E  5.806275°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 33824 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 34675 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.516120910644531 y=0.529106140136719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.516120910644531 × 216)
    floor (0.516120910644531 × 65536)
    floor (33824.5)     		tx = 33824
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.529106140136719 × 216)
    floor (0.529106140136719 × 65536)
    floor (34675.5)     		ty = 34675
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 33824 / 34675 ti = "16/33824/34675"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/33824/34675.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 33824 ÷ 216
    33824 ÷ 65536     		x = 0.51611328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 34675 ÷ 216
    34675 ÷ 65536     		y = 0.529098510742188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.51611328125 × 2 - 1) × π
    0.0322265625 × 3.1415926535     		Λ = 0.10124273
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.529098510742188 × 2 - 1) × π
    -0.058197021484375 × 3.1415926535     		Φ = -0.182831335150894
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.10124273} λ = 0.10124273}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.182831335150894))-π/2
    2×atan(0.832908626298309)-π/2
    2×0.694487577063078-π/2
    1.38897515412616-1.57079632675     		φ = -0.18182117
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.10124273} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 5.800781°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.18182117 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -10.417586°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 33824 KachelY 34675 0.10124273 -0.18182117 5.800781 -10.417586
    Oben rechts KachelX + 1 33825 KachelY 34675 0.10133861 -0.18182117 5.806275 -10.417586
    Unten links KachelX 33824 KachelY + 1 34676 0.10124273 -0.18191547 5.800781 -10.422989
    Unten rechts KachelX + 1 33825 KachelY + 1 34676 0.10133861 -0.18191547 5.806275 -10.422989
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.18182117--0.18191547) × R
    9.42999999999916e-05 × 6371000     		dl = 600.785299999947m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.18182117--0.18191547) × R
    9.42999999999916e-05 × 6371000     		dr = 600.785299999947m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.10124273-0.10133861) × cos(-0.18182117) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.983516018142971 × 6371000     		do = 600.782215286295m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.10124273-0.10133861) × cos(-0.18191547) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.983498962347653 × 6371000     		du = 600.771796728482m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.18182117)-sin(-0.18191547))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.983516018142971-0.983498962347653)×R²
    abs(0.10133861-0.10124273)×1.70557953179662e-05×R²
    9.58799999999926e-05×1.70557953179662e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×1.70557953179662e-05×40589641000000     		ar = 360937.994054741m²