Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 33821 / 34717
↖ ↑ ↗
← S 10.644412°
E  5.784302°		 ← 600.28 m → S 10.644412°
E  5.789795°		 →
↑
600.34 m
↓
↑
600.34 m
↓
S 10.649811°
E  5.784302°		 ← 600.27 m →
360 367 m²		 S 10.649811°
E  5.789795°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 33821 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 34717 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.516075134277344 y=0.529747009277344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.516075134277344 × 216)
    floor (0.516075134277344 × 65536)
    floor (33821.5)     		tx = 33821
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.529747009277344 × 216)
    floor (0.529747009277344 × 65536)
    floor (34717.5)     		ty = 34717
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 33821 / 34717 ti = "16/33821/34717"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/33821/34717.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 33821 ÷ 216
    33821 ÷ 65536     		x = 0.516067504882812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 34717 ÷ 216
    34717 ÷ 65536     		y = 0.529739379882812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.516067504882812 × 2 - 1) × π
    0.032135009765625 × 3.1415926535     		Λ = 0.10095511
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.529739379882812 × 2 - 1) × π
    -0.059478759765625 × 3.1415926535     		Φ = -0.186858034718979
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.10095511} λ = 0.10095511}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.186858034718979))-π/2
    2×atan(0.82956149695729)-π/2
    2×0.692508141187569-π/2
    1.38501628237514-1.57079632675     		φ = -0.18578004
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.10095511} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 5.784302°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.18578004 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -10.644412°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 33821 KachelY 34717 0.10095511 -0.18578004 5.784302 -10.644412
    Oben rechts KachelX + 1 33822 KachelY 34717 0.10105098 -0.18578004 5.789795 -10.644412
    Unten links KachelX 33821 KachelY + 1 34718 0.10095511 -0.18587427 5.784302 -10.649811
    Unten rechts KachelX + 1 33822 KachelY + 1 34718 0.10105098 -0.18587427 5.789795 -10.649811
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.18578004--0.18587427) × R
    9.42300000000007e-05 × 6371000     		dl = 600.339330000004m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.18578004--0.18587427) × R
    9.42300000000007e-05 × 6371000     		dr = 600.339330000004m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.10095511-0.10105098) × cos(-0.18578004) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.982792465950909 × 6371000     		do = 600.277618650943m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.10095511-0.10105098) × cos(-0.18587427) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.98277505606218 × 6371000     		du = 600.266984903831m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.18578004)-sin(-0.18587427))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.982792465950909-0.98277505606218)×R²
    abs(0.10105098-0.10095511)×1.7409888728559e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.7409888728559e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.7409888728559e-05×40589641000000     		ar = 360367.071733177m²