Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3382 / 815
↖ ↑ ↗
← N 80.767668°
W 31.376953°		 ← 783.98 m → N 80.767668°
W 31.333008°		 →
↑
784.27 m
↓
↑
784.27 m
↓
N 80.760615°
W 31.376953°		 ← 784.57 m →
615 085 m²		 N 80.760615°
W 31.333008°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3382 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 815 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.41290283203125 y=0.09954833984375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.41290283203125 × 213)
    floor (0.41290283203125 × 8192)
    floor (3382.5)     		tx = 3382
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.09954833984375 × 213)
    floor (0.09954833984375 × 8192)
    floor (815.5)     		ty = 815
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3382 / 815 ti = "13/3382/815"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3382/815.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3382 ÷ 213
    3382 ÷ 8192     		x = 0.412841796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 815 ÷ 213
    815 ÷ 8192     		y = 0.0994873046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.412841796875 × 2 - 1) × π
    -0.17431640625 × 3.1415926535     		Λ = -0.54763114
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0994873046875 × 2 - 1) × π
    0.801025390625 × 3.1415926535     		Φ = 2.51649548245447
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.54763114} λ = -0.54763114}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.51649548245447))-π/2
    2×atan(12.3851166612197)-π/2
    2×1.49022903025864-π/2
    2.98045806051728-1.57079632675     		φ = 1.40966173
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.54763114} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -31.376953°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40966173 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.767668°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3382 KachelY 815 -0.54763114 1.40966173 -31.376953 80.767668
    Oben rechts KachelX + 1 3383 KachelY 815 -0.54686415 1.40966173 -31.333008 80.767668
    Unten links KachelX 3382 KachelY + 1 816 -0.54763114 1.40953863 -31.376953 80.760615
    Unten rechts KachelX + 1 3383 KachelY + 1 816 -0.54686415 1.40953863 -31.333008 80.760615
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40966173-1.40953863) × R
    0.000123100000000154 × 6371000     		dl = 784.270100000979m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40966173-1.40953863) × R
    0.000123100000000154 × 6371000     		dr = 784.270100000979m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.54763114--0.54686415) × cos(1.40966173) × R
    0.000766990000000023 × 0.160438208739538 × 6371000     		do = 783.980230465394m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.54763114--0.54686415) × cos(1.40953863) × R
    0.000766990000000023 × 0.160559712872195 × 6371000     		du = 784.573959594332m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40966173)-sin(1.40953863))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.160438208739538-0.160559712872195)×R²
    abs(-0.54686415--0.54763114)×0.000121504132657546×R²
    0.000766990000000023×0.000121504132657546×6371000²
    0.000766990000000023×0.000121504132657546×40589641000000     		ar = 615085.076526652m²