Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 33815 / 35817
↖ ↑ ↗
← S 16.515099°
E  5.751343°		 ← 585.59 m → S 16.515099°
E  5.756836°		 →
↑
585.62 m
↓
↑
585.62 m
↓
S 16.520366°
E  5.751343°		 ← 585.57 m →
342 930 m²		 S 16.520366°
E  5.756836°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 33815 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 35817 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.515983581542969 y=0.546531677246094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.515983581542969 × 216)
    floor (0.515983581542969 × 65536)
    floor (33815.5)     		tx = 33815
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.546531677246094 × 216)
    floor (0.546531677246094 × 65536)
    floor (35817.5)     		ty = 35817
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 33815 / 35817 ti = "16/33815/35817"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/33815/35817.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 33815 ÷ 216
    33815 ÷ 65536     		x = 0.515975952148438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 35817 ÷ 216
    35817 ÷ 65536     		y = 0.546524047851562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.515975952148438 × 2 - 1) × π
    0.031951904296875 × 3.1415926535     		Λ = 0.10037987
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.546524047851562 × 2 - 1) × π
    -0.093048095703125 × 3.1415926535     		Φ = -0.292319213883102
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.10037987} λ = 0.10037987}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.292319213883102))-π/2
    2×atan(0.746530195132087)-π/2
    2×0.641276732627745-π/2
    1.28255346525549-1.57079632675     		φ = -0.28824286
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.10037987} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 5.751343°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.28824286 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -16.515099°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 33815 KachelY 35817 0.10037987 -0.28824286 5.751343 -16.515099
    Oben rechts KachelX + 1 33816 KachelY 35817 0.10047574 -0.28824286 5.756836 -16.515099
    Unten links KachelX 33815 KachelY + 1 35818 0.10037987 -0.28833478 5.751343 -16.520366
    Unten rechts KachelX + 1 33816 KachelY + 1 35818 0.10047574 -0.28833478 5.756836 -16.520366
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.28824286--0.28833478) × R
    9.19200000000231e-05 × 6371000     		dl = 585.622320000147m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.28824286--0.28833478) × R
    9.19200000000231e-05 × 6371000     		dr = 585.622320000147m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.10037987-0.10047574) × cos(-0.28824286) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.958744854038721 × 6371000     		do = 585.589631397273m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.10037987-0.10047574) × cos(-0.28833478) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.958718720072383 × 6371000     		du = 585.573669090252m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.28824286)-sin(-0.28833478))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.958744854038721-0.958718720072383)×R²
    abs(0.10047574-0.10037987)×2.61339663381044e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.61339663381044e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.61339663381044e-05×40589641000000     		ar = 342929.684806729m²