Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 33815 / 34705
↖ ↑ ↗
← S 10.579622°
E  5.751343°		 ← 600.40 m → S 10.579622°
E  5.756836°		 →
↑
600.40 m
↓
↑
600.40 m
↓
S 10.585022°
E  5.751343°		 ← 600.39 m →
360 482 m²		 S 10.585022°
E  5.756836°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 33815 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 34705 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.515983581542969 y=0.529563903808594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.515983581542969 × 216)
    floor (0.515983581542969 × 65536)
    floor (33815.5)     		tx = 33815
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.529563903808594 × 216)
    floor (0.529563903808594 × 65536)
    floor (34705.5)     		ty = 34705
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 33815 / 34705 ti = "16/33815/34705"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/33815/34705.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 33815 ÷ 216
    33815 ÷ 65536     		x = 0.515975952148438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 34705 ÷ 216
    34705 ÷ 65536     		y = 0.529556274414062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.515975952148438 × 2 - 1) × π
    0.031951904296875 × 3.1415926535     		Λ = 0.10037987
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.529556274414062 × 2 - 1) × π
    -0.059112548828125 × 3.1415926535     		Φ = -0.185707549128098
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.10037987} λ = 0.10037987}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.185707549128098))-π/2
    2×atan(0.830516444727782)-π/2
    2×0.693073545426938-π/2
    1.38614709085388-1.57079632675     		φ = -0.18464924
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.10037987} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 5.751343°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.18464924 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -10.579622°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 33815 KachelY 34705 0.10037987 -0.18464924 5.751343 -10.579622
    Oben rechts KachelX + 1 33816 KachelY 34705 0.10047574 -0.18464924 5.756836 -10.579622
    Unten links KachelX 33815 KachelY + 1 34706 0.10037987 -0.18474348 5.751343 -10.585022
    Unten rechts KachelX + 1 33816 KachelY + 1 34706 0.10047574 -0.18474348 5.756836 -10.585022
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.18464924--0.18474348) × R
    9.42399999999954e-05 × 6371000     		dl = 600.403039999971m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.18464924--0.18474348) × R
    9.42399999999954e-05 × 6371000     		dr = 600.403039999971m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.10037987-0.10047574) × cos(-0.18464924) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.983000711248419 × 6371000     		do = 600.404812331823m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.10037987-0.10047574) × cos(-0.18474348) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.982983404254658 × 6371000     		du = 600.394241431698m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.18464924)-sin(-0.18474348))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.983000711248419-0.982983404254658)×R²
    abs(0.10047574-0.10037987)×1.73069937606796e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.73069937606796e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.73069937606796e-05×40589641000000     		ar = 360481.701421223m²