Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 33814 / 34706
↖ ↑ ↗
← S 10.585022°
E  5.745849°		 ← 600.46 m → S 10.585022°
E  5.751343°		 →
↑
600.40 m
↓
↑
600.40 m
↓
S 10.590421°
E  5.745849°		 ← 600.45 m →
360 513 m²		 S 10.590421°
E  5.751343°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 33814 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 34706 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.515968322753906 y=0.529579162597656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.515968322753906 × 216)
    floor (0.515968322753906 × 65536)
    floor (33814.5)     		tx = 33814
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.529579162597656 × 216)
    floor (0.529579162597656 × 65536)
    floor (34706.5)     		ty = 34706
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 33814 / 34706 ti = "16/33814/34706"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/33814/34706.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 33814 ÷ 216
    33814 ÷ 65536     		x = 0.515960693359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 34706 ÷ 216
    34706 ÷ 65536     		y = 0.529571533203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.515960693359375 × 2 - 1) × π
    0.03192138671875 × 3.1415926535     		Λ = 0.10028399
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.529571533203125 × 2 - 1) × π
    -0.05914306640625 × 3.1415926535     		Φ = -0.185803422927338
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.10028399} λ = 0.10028399}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.185803422927338))-π/2
    2×atan(0.830436823777737)-π/2
    2×0.693026423835283-π/2
    1.38605284767057-1.57079632675     		φ = -0.18474348
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.10028399} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 5.745849°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.18474348 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -10.585022°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 33814 KachelY 34706 0.10028399 -0.18474348 5.745849 -10.585022
    Oben rechts KachelX + 1 33815 KachelY 34706 0.10037987 -0.18474348 5.751343 -10.585022
    Unten links KachelX 33814 KachelY + 1 34707 0.10028399 -0.18483772 5.745849 -10.590421
    Unten rechts KachelX + 1 33815 KachelY + 1 34707 0.10037987 -0.18483772 5.751343 -10.590421
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.18474348--0.18483772) × R
    9.42400000000232e-05 × 6371000     		dl = 600.403040000148m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.18474348--0.18483772) × R
    9.42400000000232e-05 × 6371000     		dr = 600.403040000148m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.10028399-0.10037987) × cos(-0.18474348) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.982983404254658 × 6371000     		do = 600.45686730435m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.10028399-0.10037987) × cos(-0.18483772) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.982966088530847 × 6371000     		du = 600.446289968833m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.18474348)-sin(-0.18483772))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.982983404254658-0.982966088530847)×R²
    abs(0.10037987-0.10028399)×1.73157238109178e-05×R²
    9.58799999999926e-05×1.73157238109178e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×1.73157238109178e-05×40589641000000     		ar = 360512.953453129m²