Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3381 / 955
↖ ↑ ↗
← N 79.726446°
W 31.420898°		 ← 871.50 m → N 79.726446°
W 31.376953°		 →
↑
871.81 m
↓
↑
871.81 m
↓
N 79.718605°
W 31.420898°		 ← 872.15 m →
760 064 m²		 N 79.718605°
W 31.376953°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3381 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 955 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.41278076171875 y=0.11663818359375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.41278076171875 × 213)
    floor (0.41278076171875 × 8192)
    floor (3381.5)     		tx = 3381
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.11663818359375 × 213)
    floor (0.11663818359375 × 8192)
    floor (955.5)     		ty = 955
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3381 / 955 ti = "13/3381/955"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3381/955.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3381 ÷ 213
    3381 ÷ 8192     		x = 0.4127197265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 955 ÷ 213
    955 ÷ 8192     		y = 0.1165771484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4127197265625 × 2 - 1) × π
    -0.174560546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.54839813
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1165771484375 × 2 - 1) × π
    0.766845703125 × 3.1415926535     		Φ = 2.40911682730554
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.54839813} λ = -0.54839813}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.40911682730554))-π/2
    2×atan(11.1241322755343)-π/2
    2×1.48114265509921-π/2
    2.96228531019842-1.57079632675     		φ = 1.39148898
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.54839813} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -31.420898°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39148898 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.726446°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3381 KachelY 955 -0.54839813 1.39148898 -31.420898 79.726446
    Oben rechts KachelX + 1 3382 KachelY 955 -0.54763114 1.39148898 -31.376953 79.726446
    Unten links KachelX 3381 KachelY + 1 956 -0.54839813 1.39135214 -31.420898 79.718605
    Unten rechts KachelX + 1 3382 KachelY + 1 956 -0.54763114 1.39135214 -31.376953 79.718605
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39148898-1.39135214) × R
    0.000136840000000138 × 6371000     		dl = 871.807640000879m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39148898-1.39135214) × R
    0.000136840000000138 × 6371000     		dr = 871.807640000879m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.54839813--0.54763114) × cos(1.39148898) × R
    0.000766990000000023 × 0.178348068046814 × 6371000     		do = 871.496637795248m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.54839813--0.54763114) × cos(1.39135214) × R
    0.000766990000000023 × 0.178482712484118 × 6371000     		du = 872.15457693467m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39148898)-sin(1.39135214))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.178348068046814-0.178482712484118)×R²
    abs(-0.54763114--0.54839813)×0.00013464443730396×R²
    0.000766990000000023×0.00013464443730396×6371000²
    0.000766990000000023×0.00013464443730396×40589641000000     		ar = 760064.226434821m²