Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 33807 / 35847
↖ ↑ ↗
← S 16.673031°
E  5.707398°		 ← 585.11 m → S 16.673031°
E  5.712891°		 →
↑
585.11 m
↓
↑
585.11 m
↓
S 16.678293°
E  5.707398°		 ← 585.09 m →
342 350 m²		 S 16.678293°
E  5.712891°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 33807 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 35847 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.515861511230469 y=0.546989440917969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.515861511230469 × 216)
    floor (0.515861511230469 × 65536)
    floor (33807.5)     		tx = 33807
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.546989440917969 × 216)
    floor (0.546989440917969 × 65536)
    floor (35847.5)     		ty = 35847
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 33807 / 35847 ti = "16/33807/35847"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/33807/35847.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 33807 ÷ 216
    33807 ÷ 65536     		x = 0.515853881835938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 35847 ÷ 216
    35847 ÷ 65536     		y = 0.546981811523438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.515853881835938 × 2 - 1) × π
    0.031707763671875 × 3.1415926535     		Λ = 0.09961288
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.546981811523438 × 2 - 1) × π
    -0.093963623046875 × 3.1415926535     		Φ = -0.295195427860306
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.09961288} λ = 0.09961288}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.295195427860306))-π/2
    2×atan(0.744386099467508)-π/2
    2×0.639898520200615-π/2
    1.27979704040123-1.57079632675     		φ = -0.29099929
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.09961288} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 5.707398°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.29099929 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -16.673031°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 33807 KachelY 35847 0.09961288 -0.29099929 5.707398 -16.673031
    Oben rechts KachelX + 1 33808 KachelY 35847 0.09970875 -0.29099929 5.712891 -16.673031
    Unten links KachelX 33807 KachelY + 1 35848 0.09961288 -0.29109113 5.707398 -16.678293
    Unten rechts KachelX + 1 33808 KachelY + 1 35848 0.09970875 -0.29109113 5.712891 -16.678293
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.29099929--0.29109113) × R
    9.18399999999542e-05 × 6371000     		dl = 585.112639999708m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.29099929--0.29109113) × R
    9.18399999999542e-05 × 6371000     		dr = 585.112639999708m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.09961288-0.09970875) × cos(-0.29099929) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.957957647919443 × 6371000     		do = 585.108815527149m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.09961288-0.09970875) × cos(-0.29109113) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.957931294097632 × 6371000     		du = 585.092718935094m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.29099929)-sin(-0.29109113))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.957957647919443-0.957931294097632)×R²
    abs(0.09970875-0.09961288)×2.63538218113757e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.63538218113757e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.63538218113757e-05×40589641000000     		ar = 342349.854821149m²