Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 33807 / 35821
↖ ↑ ↗
← S 16.536165°
E  5.707398°		 ← 585.53 m → S 16.536165°
E  5.712891°		 →
↑
585.49 m
↓
↑
585.49 m
↓
S 16.541430°
E  5.707398°		 ← 585.51 m →
342 818 m²		 S 16.541430°
E  5.712891°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 33807 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 35821 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.515861511230469 y=0.546592712402344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.515861511230469 × 216)
    floor (0.515861511230469 × 65536)
    floor (33807.5)     		tx = 33807
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.546592712402344 × 216)
    floor (0.546592712402344 × 65536)
    floor (35821.5)     		ty = 35821
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 33807 / 35821 ti = "16/33807/35821"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/33807/35821.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 33807 ÷ 216
    33807 ÷ 65536     		x = 0.515853881835938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 35821 ÷ 216
    35821 ÷ 65536     		y = 0.546585083007812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.515853881835938 × 2 - 1) × π
    0.031707763671875 × 3.1415926535     		Λ = 0.09961288
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.546585083007812 × 2 - 1) × π
    -0.093170166015625 × 3.1415926535     		Φ = -0.292702709080063
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.09961288} λ = 0.09961288}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.292702709080063))-π/2
    2×atan(0.746243959276414)-π/2
    2×0.641092905628824-π/2
    1.28218581125765-1.57079632675     		φ = -0.28861052
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.09961288} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 5.707398°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.28861052 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -16.536165°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 33807 KachelY 35821 0.09961288 -0.28861052 5.707398 -16.536165
    Oben rechts KachelX + 1 33808 KachelY 35821 0.09970875 -0.28861052 5.712891 -16.536165
    Unten links KachelX 33807 KachelY + 1 35822 0.09961288 -0.28870242 5.707398 -16.541430
    Unten rechts KachelX + 1 33808 KachelY + 1 35822 0.09970875 -0.28870242 5.712891 -16.541430
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.28861052--0.28870242) × R
    9.19000000000336e-05 × 6371000     		dl = 585.494900000214m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.28861052--0.28870242) × R
    9.19000000000336e-05 × 6371000     		dr = 585.494900000214m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.09961288-0.09970875) × cos(-0.28861052) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.958640275263728 × 6371000     		do = 585.525755960506m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.09961288-0.09970875) × cos(-0.28870242) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.958614114592694 × 6371000     		du = 585.509777342583m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.28861052)-sin(-0.28870242))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.958640275263728-0.958614114592694)×R²
    abs(0.09970875-0.09961288)×2.61606710344475e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.61606710344475e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.61606710344475e-05×40589641000000     		ar = 342817.666475261m²