Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 33805 / 35811
↖ ↑ ↗
← S 16.483498°
E  5.696411°		 ← 585.69 m → S 16.483498°
E  5.701904°		 →
↑
585.69 m
↓
↑
585.69 m
↓
S 16.488765°
E  5.696411°		 ← 585.67 m →
343 023 m²		 S 16.488765°
E  5.701904°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 33805 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 35811 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.515830993652344 y=0.546440124511719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.515830993652344 × 216)
    floor (0.515830993652344 × 65536)
    floor (33805.5)     		tx = 33805
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.546440124511719 × 216)
    floor (0.546440124511719 × 65536)
    floor (35811.5)     		ty = 35811
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 33805 / 35811 ti = "16/33805/35811"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/33805/35811.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 33805 ÷ 216
    33805 ÷ 65536     		x = 0.515823364257812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 35811 ÷ 216
    35811 ÷ 65536     		y = 0.546432495117188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.515823364257812 × 2 - 1) × π
    0.031646728515625 × 3.1415926535     		Λ = 0.09942113
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.546432495117188 × 2 - 1) × π
    -0.092864990234375 × 3.1415926535     		Φ = -0.291743971087662
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.09942113} λ = 0.09942113}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.291743971087662))-π/2
    2×atan(0.746959754787119)-π/2
    2×0.641552510696045-π/2
    1.28310502139209-1.57079632675     		φ = -0.28769131
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.09942113} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 5.696411°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.28769131 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -16.483498°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 33805 KachelY 35811 0.09942113 -0.28769131 5.696411 -16.483498
    Oben rechts KachelX + 1 33806 KachelY 35811 0.09951700 -0.28769131 5.701904 -16.483498
    Unten links KachelX 33805 KachelY + 1 35812 0.09942113 -0.28778324 5.696411 -16.488765
    Unten rechts KachelX + 1 33806 KachelY + 1 35812 0.09951700 -0.28778324 5.701904 -16.488765
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.28769131--0.28778324) × R
    9.19300000000178e-05 × 6371000     		dl = 585.686030000114m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.28769131--0.28778324) × R
    9.19300000000178e-05 × 6371000     		dr = 585.686030000114m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.09942113-0.09951700) × cos(-0.28769131) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.958901496226296 × 6371000     		do = 585.68530652971m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.09942113-0.09951700) × cos(-0.28778324) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.958875408031897 × 6371000     		du = 585.66937217963m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.28769131)-sin(-0.28778324))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.958901496226296-0.958875408031897)×R²
    abs(0.09951700-0.09942113)×2.60881943981994e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.60881943981994e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.60881943981994e-05×40589641000000     		ar = 343023.035989135m²