Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 33803 / 35849
↖ ↑ ↗
← S 16.683555°
E  5.685425°		 ← 585.14 m → S 16.683555°
E  5.690918°		 →
↑
585.05 m
↓
↑
585.05 m
↓
S 16.688817°
E  5.685425°		 ← 585.12 m →
342 329 m²		 S 16.688817°
E  5.690918°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 33803 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 35849 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.515800476074219 y=0.547019958496094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.515800476074219 × 216)
    floor (0.515800476074219 × 65536)
    floor (33803.5)     		tx = 33803
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.547019958496094 × 216)
    floor (0.547019958496094 × 65536)
    floor (35849.5)     		ty = 35849
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 33803 / 35849 ti = "16/33803/35849"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/33803/35849.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 33803 ÷ 216
    33803 ÷ 65536     		x = 0.515792846679688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 35849 ÷ 216
    35849 ÷ 65536     		y = 0.547012329101562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.515792846679688 × 2 - 1) × π
    0.031585693359375 × 3.1415926535     		Λ = 0.09922938
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.547012329101562 × 2 - 1) × π
    -0.094024658203125 × 3.1415926535     		Φ = -0.295387175458786
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.09922938} λ = 0.09922938}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.295387175458786))-π/2
    2×atan(0.744243378904193)-π/2
    2×0.639806679688106-π/2
    1.27961335937621-1.57079632675     		φ = -0.29118297
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.09922938} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 5.685425°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.29118297 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -16.683555°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 33803 KachelY 35849 0.09922938 -0.29118297 5.685425 -16.683555
    Oben rechts KachelX + 1 33804 KachelY 35849 0.09932526 -0.29118297 5.690918 -16.683555
    Unten links KachelX 33803 KachelY + 1 35850 0.09922938 -0.29127480 5.685425 -16.688817
    Unten rechts KachelX + 1 33804 KachelY + 1 35850 0.09932526 -0.29127480 5.690918 -16.688817
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.29118297--0.29127480) × R
    9.1830000000015e-05 × 6371000     		dl = 585.048930000095m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.29118297--0.29127480) × R
    9.1830000000015e-05 × 6371000     		dr = 585.048930000095m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.09922938-0.09932526) × cos(-0.29118297) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.957904932196067 × 6371000     		do = 585.137645531222m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.09922938-0.09932526) × cos(-0.29127480) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.957878565086706 × 6371000     		du = 585.121539143446m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.29118297)-sin(-0.29127480))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.957904932196067-0.957878565086706)×R²
    abs(0.09932526-0.09922938)×2.63671093604367e-05×R²
    9.58799999999926e-05×2.63671093604367e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×2.63671093604367e-05×40589641000000     		ar = 342329.442148922m²