Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 33802 / 35851
↖ ↑ ↗
← S 16.694079°
E  5.679932°		 ← 585.04 m → S 16.694079°
E  5.685425°		 →
↑
585.05 m
↓
↑
585.05 m
↓
S 16.699340°
E  5.679932°		 ← 585.03 m →
342 275 m²		 S 16.699340°
E  5.685425°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 33802 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 35851 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.515785217285156 y=0.547050476074219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.515785217285156 × 216)
    floor (0.515785217285156 × 65536)
    floor (33802.5)     		tx = 33802
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.547050476074219 × 216)
    floor (0.547050476074219 × 65536)
    floor (35851.5)     		ty = 35851
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 33802 / 35851 ti = "16/33802/35851"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/33802/35851.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 33802 ÷ 216
    33802 ÷ 65536     		x = 0.515777587890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 35851 ÷ 216
    35851 ÷ 65536     		y = 0.547042846679688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.515777587890625 × 2 - 1) × π
    0.03155517578125 × 3.1415926535     		Λ = 0.09913351
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.547042846679688 × 2 - 1) × π
    -0.094085693359375 × 3.1415926535     		Φ = -0.295578923057266
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.09913351} λ = 0.09913351}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.295578923057266))-π/2
    2×atan(0.74410068570458)-π/2
    2×0.639714844231092-π/2
    1.27942968846218-1.57079632675     		φ = -0.29136664
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.09913351} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 5.679932°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.29136664 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -16.694079°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 33802 KachelY 35851 0.09913351 -0.29136664 5.679932 -16.694079
    Oben rechts KachelX + 1 33803 KachelY 35851 0.09922938 -0.29136664 5.685425 -16.694079
    Unten links KachelX 33802 KachelY + 1 35852 0.09913351 -0.29145847 5.679932 -16.699340
    Unten rechts KachelX + 1 33803 KachelY + 1 35852 0.09922938 -0.29145847 5.685425 -16.699340
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.29136664--0.29145847) × R
    9.1830000000015e-05 × 6371000     		dl = 585.048930000095m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.29136664--0.29145847) × R
    9.1830000000015e-05 × 6371000     		dr = 585.048930000095m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.09913351-0.09922938) × cos(-0.29136664) × R
    9.58700000000118e-05 × 0.957852187027181 × 6371000     		do = 585.044401304027m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.09913351-0.09922938) × cos(-0.29145847) × R
    9.58700000000118e-05 × 0.957825803762065 × 6371000     		du = 585.028286728361m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.29136664)-sin(-0.29145847))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.957852187027181-0.957825803762065)×R²
    abs(0.09922938-0.09913351)×2.6383265116392e-05×R²
    9.58700000000118e-05×2.6383265116392e-05×6371000²
    9.58700000000118e-05×2.6383265116392e-05×40589641000000     		ar = 342274.887318356m²