Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3380 / 939
↖ ↑ ↗
← N 79.851093°
W 31.464844°		 ← 861.03 m → N 79.851093°
W 31.420898°		 →
↑
861.36 m
↓
↑
861.36 m
↓
N 79.843346°
W 31.464844°		 ← 861.68 m →
741 940 m²		 N 79.843346°
W 31.420898°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3380 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 939 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.41265869140625 y=0.11468505859375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.41265869140625 × 213)
    floor (0.41265869140625 × 8192)
    floor (3380.5)     		tx = 3380
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.11468505859375 × 213)
    floor (0.11468505859375 × 8192)
    floor (939.5)     		ty = 939
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3380 / 939 ti = "13/3380/939"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3380/939.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3380 ÷ 213
    3380 ÷ 8192     		x = 0.41259765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 939 ÷ 213
    939 ÷ 8192     		y = 0.1146240234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.41259765625 × 2 - 1) × π
    -0.1748046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.54916512
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1146240234375 × 2 - 1) × π
    0.770751953125 × 3.1415926535     		Φ = 2.42138867360828
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.54916512} λ = -0.54916512}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.42138867360828))-π/2
    2×atan(11.2614869912743)-π/2
    2×1.48223040370055-π/2
    2.9644608074011-1.57079632675     		φ = 1.39366448
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.54916512} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -31.464844°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39366448 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.851093°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3380 KachelY 939 -0.54916512 1.39366448 -31.464844 79.851093
    Oben rechts KachelX + 1 3381 KachelY 939 -0.54839813 1.39366448 -31.420898 79.851093
    Unten links KachelX 3380 KachelY + 1 940 -0.54916512 1.39352928 -31.464844 79.843346
    Unten rechts KachelX + 1 3381 KachelY + 1 940 -0.54839813 1.39352928 -31.420898 79.843346
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39366448-1.39352928) × R
    0.000135199999999891 × 6371000     		dl = 861.359199999305m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39366448-1.39352928) × R
    0.000135199999999891 × 6371000     		dr = 861.359199999305m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.54916512--0.54839813) × cos(1.39366448) × R
    0.000766989999999912 × 0.176207026478645 × 6371000     		do = 861.034452538653m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.54916512--0.54839813) × cos(1.39352928) × R
    0.000766989999999912 × 0.176340109410918 × 6371000     		du = 861.68476139422m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39366448)-sin(1.39352928))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.176207026478645-0.176340109410918)×R²
    abs(-0.54839813--0.54916512)×0.000133082932273265×R²
    0.000766989999999912×0.000133082932273265×6371000²
    0.000766989999999912×0.000133082932273265×40589641000000     		ar = 741940.023099009m²