Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3380 / 830
↖ ↑ ↗
← N 80.661308°
W 31.464844°		 ← 792.93 m → N 80.661308°
W 31.420898°		 →
↑
793.25 m
↓
↑
793.25 m
↓
N 80.654174°
W 31.464844°		 ← 793.53 m →
629 234 m²		 N 80.654174°
W 31.420898°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3380 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 830 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.41265869140625 y=0.10137939453125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.41265869140625 × 213)
    floor (0.41265869140625 × 8192)
    floor (3380.5)     		tx = 3380
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.10137939453125 × 213)
    floor (0.10137939453125 × 8192)
    floor (830.5)     		ty = 830
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3380 / 830 ti = "13/3380/830"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3380/830.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3380 ÷ 213
    3380 ÷ 8192     		x = 0.41259765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 830 ÷ 213
    830 ÷ 8192     		y = 0.101318359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.41259765625 × 2 - 1) × π
    -0.1748046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.54916512
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.101318359375 × 2 - 1) × π
    0.79736328125 × 3.1415926535     		Φ = 2.50499062654565
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.54916512} λ = -0.54916512}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.50499062654565))-π/2
    2×atan(12.2434442018979)-π/2
    2×1.48930086148663-π/2
    2.97860172297326-1.57079632675     		φ = 1.40780540
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.54916512} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -31.464844°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40780540 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.661308°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3380 KachelY 830 -0.54916512 1.40780540 -31.464844 80.661308
    Oben rechts KachelX + 1 3381 KachelY 830 -0.54839813 1.40780540 -31.420898 80.661308
    Unten links KachelX 3380 KachelY + 1 831 -0.54916512 1.40768089 -31.464844 80.654174
    Unten rechts KachelX + 1 3381 KachelY + 1 831 -0.54839813 1.40768089 -31.420898 80.654174
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40780540-1.40768089) × R
    0.000124510000000022 × 6371000     		dl = 793.253210000141m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40780540-1.40768089) × R
    0.000124510000000022 × 6371000     		dr = 793.253210000141m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.54916512--0.54839813) × cos(1.40780540) × R
    0.000766989999999912 × 0.162270214145036 × 6371000     		do = 792.932312586493m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.54916512--0.54839813) × cos(1.40768089) × R
    0.000766989999999912 × 0.1623930726761 × 6371000     		du = 793.532659974152m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40780540)-sin(1.40768089))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.162270214145036-0.1623930726761)×R²
    abs(-0.54839813--0.54916512)×0.000122858531063141×R²
    0.000766989999999912×0.000122858531063141×6371000²
    0.000766989999999912×0.000122858531063141×40589641000000     		ar = 629234.216829106m²