Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 338 / 466
↖ ↑ ↗
← N 69.534518°
W120.585937°		 ← 6 834.11 m → N 69.534518°
W120.410156°		 →
↑
6 843.98 m
↓
↑
6 843.98 m
↓
N 69.472968°
W120.585937°		 ← 6 853.78 m →
46 839 862 m²		 N 69.472968°
W120.410156°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 338 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 466 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.165283203125 y=0.227783203125 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.165283203125 × 211)
    floor (0.165283203125 × 2048)
    floor (338.5)     		tx = 338
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.227783203125 × 211)
    floor (0.227783203125 × 2048)
    floor (466.5)     		ty = 466
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 338 / 466 ti = "11/338/466"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/338/466.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 338 ÷ 211
    338 ÷ 2048     		x = 0.1650390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 466 ÷ 211
    466 ÷ 2048     		y = 0.2275390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.1650390625 × 2 - 1) × π
    -0.669921875 × 3.1415926535     		Λ = -2.10462164
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2275390625 × 2 - 1) × π
    0.544921875 × 3.1415926535     		Φ = 1.71192255923145
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.10462164} λ = -2.10462164}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.71192255923145))-π/2
    2×atan(5.5396014582723)-π/2
    2×1.3922013016105-π/2
    2.78440260322101-1.57079632675     		φ = 1.21360628
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.10462164} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -120.585937°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.21360628 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.534518°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 338 KachelY 466 -2.10462164 1.21360628 -120.585937 69.534518
    Oben rechts KachelX + 1 339 KachelY 466 -2.10155368 1.21360628 -120.410156 69.534518
    Unten links KachelX 338 KachelY + 1 467 -2.10462164 1.21253204 -120.585937 69.472968
    Unten rechts KachelX + 1 339 KachelY + 1 467 -2.10155368 1.21253204 -120.410156 69.472968
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.21360628-1.21253204) × R
    0.00107424000000012 × 6371000     		dl = 6843.98304000073m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.21360628-1.21253204) × R
    0.00107424000000012 × 6371000     		dr = 6843.98304000073m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.10462164--2.10155368) × cos(1.21360628) × R
    0.00306796000000009 × 0.349643019707478 × 6371000     		do = 6834.11307878393m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.10462164--2.10155368) × cos(1.21253204) × R
    0.00306796000000009 × 0.350649254967064 × 6371000     		du = 6853.78092616044m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.21360628)-sin(1.21253204))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.349643019707478-0.350649254967064)×R²
    abs(-2.10155368--2.10462164)×0.00100623525958582×R²
    0.00306796000000009×0.00100623525958582×6371000²
    0.00306796000000009×0.00100623525958582×40589641000000     		ar = 46839861.7159973m²