Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 33796 / 34676
↖ ↑ ↗
← S 10.422989°
E  5.646973°		 ← 600.71 m → S 10.422989°
E  5.652466°		 →
↑
600.72 m
↓
↑
600.72 m
↓
S 10.428391°
E  5.646973°		 ← 600.70 m →
360 856 m²		 S 10.428391°
E  5.652466°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 33796 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 34676 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.515693664550781 y=0.529121398925781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.515693664550781 × 216)
    floor (0.515693664550781 × 65536)
    floor (33796.5)     		tx = 33796
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.529121398925781 × 216)
    floor (0.529121398925781 × 65536)
    floor (34676.5)     		ty = 34676
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 33796 / 34676 ti = "16/33796/34676"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/33796/34676.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 33796 ÷ 216
    33796 ÷ 65536     		x = 0.51568603515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 34676 ÷ 216
    34676 ÷ 65536     		y = 0.52911376953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.51568603515625 × 2 - 1) × π
    0.0313720703125 × 3.1415926535     		Λ = 0.09855827
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.52911376953125 × 2 - 1) × π
    -0.0582275390625 × 3.1415926535     		Φ = -0.182927208950134
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.09855827} λ = 0.09855827}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.182927208950134))-π/2
    2×atan(0.832828776011722)-π/2
    2×0.6944404307632-π/2
    1.3888808615264-1.57079632675     		φ = -0.18191547
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.09855827} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 5.646973°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.18191547 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -10.422989°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 33796 KachelY 34676 0.09855827 -0.18191547 5.646973 -10.422989
    Oben rechts KachelX + 1 33797 KachelY 34676 0.09865414 -0.18191547 5.652466 -10.422989
    Unten links KachelX 33796 KachelY + 1 34677 0.09855827 -0.18200976 5.646973 -10.428391
    Unten rechts KachelX + 1 33797 KachelY + 1 34677 0.09865414 -0.18200976 5.652466 -10.428391
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.18191547--0.18200976) × R
    9.42899999999969e-05 × 6371000     		dl = 600.72158999998m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.18191547--0.18200976) × R
    9.42899999999969e-05 × 6371000     		dr = 600.72158999998m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.09855827-0.09865414) × cos(-0.18191547) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.983498962347653 × 6371000     		do = 600.709138009624m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.09855827-0.09865414) × cos(-0.18200976) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.983481899616646 × 6371000     		du = 600.698716302202m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.18191547)-sin(-0.18200976))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.983498962347653-0.983481899616646)×R²
    abs(0.09865414-0.09855827)×1.70627310074334e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.70627310074334e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.70627310074334e-05×40589641000000     		ar = 360855.818507601m²