Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3379 / 831
↖ ↑ ↗
← N 80.654174°
W 31.508789°		 ← 793.53 m → N 80.654174°
W 31.464844°		 →
↑
793.83 m
↓
↑
793.83 m
↓
N 80.647035°
W 31.508789°		 ← 794.13 m →
630 166 m²		 N 80.647035°
W 31.464844°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3379 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 831 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.41253662109375 y=0.10150146484375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.41253662109375 × 213)
    floor (0.41253662109375 × 8192)
    floor (3379.5)     		tx = 3379
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.10150146484375 × 213)
    floor (0.10150146484375 × 8192)
    floor (831.5)     		ty = 831
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3379 / 831 ti = "13/3379/831"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3379/831.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3379 ÷ 213
    3379 ÷ 8192     		x = 0.4124755859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 831 ÷ 213
    831 ÷ 8192     		y = 0.1014404296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4124755859375 × 2 - 1) × π
    -0.175048828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.54993211
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1014404296875 × 2 - 1) × π
    0.797119140625 × 3.1415926535     		Φ = 2.50422363615173
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.54993211} λ = -0.54993211}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.50422363615173))-π/2
    2×atan(12.2340571981376)-π/2
    2×1.48923860808311-π/2
    2.97847721616623-1.57079632675     		φ = 1.40768089
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.54993211} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -31.508789°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40768089 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.654174°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3379 KachelY 831 -0.54993211 1.40768089 -31.508789 80.654174
    Oben rechts KachelX + 1 3380 KachelY 831 -0.54916512 1.40768089 -31.464844 80.654174
    Unten links KachelX 3379 KachelY + 1 832 -0.54993211 1.40755629 -31.508789 80.647035
    Unten rechts KachelX + 1 3380 KachelY + 1 832 -0.54916512 1.40755629 -31.464844 80.647035
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40768089-1.40755629) × R
    0.000124599999999919 × 6371000     		dl = 793.826599999485m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40768089-1.40755629) × R
    0.000124599999999919 × 6371000     		dr = 793.826599999485m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.54993211--0.54916512) × cos(1.40768089) × R
    0.000766990000000023 × 0.1623930726761 × 6371000     		do = 793.532659974267m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.54993211--0.54916512) × cos(1.40755629) × R
    0.000766990000000023 × 0.162516017493157 × 6371000     		du = 794.133428997859m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40768089)-sin(1.40755629))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.1623930726761-0.162516017493157)×R²
    abs(-0.54916512--0.54993211)×0.000122944817057602×R²
    0.000766990000000023×0.000122944817057602×6371000²
    0.000766990000000023×0.000122944817057602×40589641000000     		ar = 630165.787487791m²