Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 33787 / 23597
↖ ↑ ↗
← N 44.914249°
E  5.597534°		 ← 432.58 m → N 44.914249°
E  5.603028°		 →
↑
432.53 m
↓
↑
432.53 m
↓
N 44.910359°
E  5.597534°		 ← 432.61 m →
187 110 m²		 N 44.910359°
E  5.603028°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 33787 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 23597 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.515556335449219 y=0.360069274902344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.515556335449219 × 216)
    floor (0.515556335449219 × 65536)
    floor (33787.5)     		tx = 33787
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.360069274902344 × 216)
    floor (0.360069274902344 × 65536)
    floor (23597.5)     		ty = 23597
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 33787 / 23597 ti = "16/33787/23597"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/33787/23597.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 33787 ÷ 216
    33787 ÷ 65536     		x = 0.515548706054688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 23597 ÷ 216
    23597 ÷ 65536     		y = 0.360061645507812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.515548706054688 × 2 - 1) × π
    0.031097412109375 × 3.1415926535     		Λ = 0.09769540
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.360061645507812 × 2 - 1) × π
    0.279876708984375 × 3.1415926535     		Φ = 0.87925861283107
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.09769540} λ = 0.09769540}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.87925861283107))-π/2
    2×atan(2.40911295872704)-π/2
    2×1.17734892966176-π/2
    2.35469785932352-1.57079632675     		φ = 0.78390153
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.09769540} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 5.597534°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.78390153 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 44.914249°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 33787 KachelY 23597 0.09769540 0.78390153 5.597534 44.914249
    Oben rechts KachelX + 1 33788 KachelY 23597 0.09779128 0.78390153 5.603028 44.914249
    Unten links KachelX 33787 KachelY + 1 23598 0.09769540 0.78383364 5.597534 44.910359
    Unten rechts KachelX + 1 33788 KachelY + 1 23598 0.09779128 0.78383364 5.603028 44.910359
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.78390153-0.78383364) × R
    6.78899999999594e-05 × 6371000     		dl = 432.527189999741m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.78390153-0.78383364) × R
    6.78899999999594e-05 × 6371000     		dr = 432.527189999741m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.09769540-0.09779128) × cos(0.78390153) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.708164268487591 × 6371000     		do = 432.583191488729m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.09769540-0.09779128) × cos(0.78383364) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.708212200434605 × 6371000     		du = 432.612470789502m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.78390153)-sin(0.78383364))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.708164268487591-0.708212200434605)×R²
    abs(0.09779128-0.09769540)×4.79319470140238e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.79319470140238e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.79319470140238e-05×40589641000000     		ar = 187110.324374267m²