Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 33783 / 23561
↖ ↑ ↗
← N 45.054121°
E  5.575562°		 ← 431.48 m → N 45.054121°
E  5.581055°		 →
↑
431.51 m
↓
↑
431.51 m
↓
N 45.050240°
E  5.575562°		 ← 431.51 m →
186 195 m²		 N 45.050240°
E  5.581055°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 33783 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 23561 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.515495300292969 y=0.359519958496094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.515495300292969 × 216)
    floor (0.515495300292969 × 65536)
    floor (33783.5)     		tx = 33783
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.359519958496094 × 216)
    floor (0.359519958496094 × 65536)
    floor (23561.5)     		ty = 23561
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 33783 / 23561 ti = "16/33783/23561"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/33783/23561.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 33783 ÷ 216
    33783 ÷ 65536     		x = 0.515487670898438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 23561 ÷ 216
    23561 ÷ 65536     		y = 0.359512329101562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.515487670898438 × 2 - 1) × π
    0.030975341796875 × 3.1415926535     		Λ = 0.09731191
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.359512329101562 × 2 - 1) × π
    0.280975341796875 × 3.1415926535     		Φ = 0.882710069603714
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.09731191} λ = 0.09731191}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.882710069603714))-π/2
    2×atan(2.4174422738314)-π/2
    2×1.17856953977213-π/2
    2.35713907954426-1.57079632675     		φ = 0.78634275
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.09731191} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 5.575562°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.78634275 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 45.054121°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 33783 KachelY 23561 0.09731191 0.78634275 5.575562 45.054121
    Oben rechts KachelX + 1 33784 KachelY 23561 0.09740778 0.78634275 5.581055 45.054121
    Unten links KachelX 33783 KachelY + 1 23562 0.09731191 0.78627502 5.575562 45.050240
    Unten rechts KachelX + 1 33784 KachelY + 1 23562 0.09740778 0.78627502 5.581055 45.050240
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.78634275-0.78627502) × R
    6.77299999999326e-05 × 6371000     		dl = 431.50782999957m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.78634275-0.78627502) × R
    6.77299999999326e-05 × 6371000     		dr = 431.50782999957m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.09731191-0.09740778) × cos(0.78634275) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.706438542237976 × 6371000     		do = 431.484021855574m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.09731191-0.09740778) × cos(0.78627502) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.70648647817698 × 6371000     		du = 431.513300540862m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.78634275)-sin(0.78627502))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.706438542237976-0.70648647817698)×R²
    abs(0.09740778-0.09731191)×4.79359390039846e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.79359390039846e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.79359390039846e-05×40589641000000     		ar = 186195.051012672m²