Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 33783 / 23546
↖ ↑ ↗
← N 45.112300°
E  5.575562°		 ← 431.04 m → N 45.112300°
E  5.581055°		 →
↑
431.06 m
↓
↑
431.06 m
↓
N 45.108423°
E  5.575562°		 ← 431.07 m →
185 813 m²		 N 45.108423°
E  5.581055°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 33783 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 23546 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.515495300292969 y=0.359291076660156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.515495300292969 × 216)
    floor (0.515495300292969 × 65536)
    floor (33783.5)     		tx = 33783
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.359291076660156 × 216)
    floor (0.359291076660156 × 65536)
    floor (23546.5)     		ty = 23546
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 33783 / 23546 ti = "16/33783/23546"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/33783/23546.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 33783 ÷ 216
    33783 ÷ 65536     		x = 0.515487670898438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 23546 ÷ 216
    23546 ÷ 65536     		y = 0.359283447265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.515487670898438 × 2 - 1) × π
    0.030975341796875 × 3.1415926535     		Λ = 0.09731191
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.359283447265625 × 2 - 1) × π
    0.28143310546875 × 3.1415926535     		Φ = 0.884148176592316
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.09731191} λ = 0.09731191}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.884148176592316))-π/2
    2×atan(2.42092131547739)-π/2
    2×1.17907724835495-π/2
    2.3581544967099-1.57079632675     		φ = 0.78735817
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.09731191} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 5.575562°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.78735817 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 45.112300°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 33783 KachelY 23546 0.09731191 0.78735817 5.575562 45.112300
    Oben rechts KachelX + 1 33784 KachelY 23546 0.09740778 0.78735817 5.581055 45.112300
    Unten links KachelX 33783 KachelY + 1 23547 0.09731191 0.78729051 5.575562 45.108423
    Unten rechts KachelX + 1 33784 KachelY + 1 23547 0.09740778 0.78729051 5.581055 45.108423
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.78735817-0.78729051) × R
    6.76599999999139e-05 × 6371000     		dl = 431.061859999451m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.78735817-0.78729051) × R
    6.76599999999139e-05 × 6371000     		dr = 431.061859999451m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.09731191-0.09740778) × cos(0.78735817) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.705719489894665 × 6371000     		do = 431.04483347829m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.09731191-0.09740778) × cos(0.78729051) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.70576742480443 × 6371000     		du = 431.074111534931m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.78735817)-sin(0.78729051))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.705719489894665-0.70576742480443)×R²
    abs(0.09740778-0.09731191)×4.79349097649573e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.79349097649573e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.79349097649573e-05×40589641000000     		ar = 185813.298059911m²