Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 33781 / 23587
↖ ↑ ↗
← N 44.953137°
E  5.564575°		 ← 432.25 m → N 44.953137°
E  5.570068°		 →
↑
432.27 m
↓
↑
432.27 m
↓
N 44.949249°
E  5.564575°		 ← 432.27 m →
186 854 m²		 N 44.949249°
E  5.570068°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 33781 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 23587 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.515464782714844 y=0.359916687011719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.515464782714844 × 216)
    floor (0.515464782714844 × 65536)
    floor (33781.5)     		tx = 33781
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.359916687011719 × 216)
    floor (0.359916687011719 × 65536)
    floor (23587.5)     		ty = 23587
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 33781 / 23587 ti = "16/33781/23587"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/33781/23587.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 33781 ÷ 216
    33781 ÷ 65536     		x = 0.515457153320312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 23587 ÷ 216
    23587 ÷ 65536     		y = 0.359909057617188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.515457153320312 × 2 - 1) × π
    0.030914306640625 × 3.1415926535     		Λ = 0.09712016
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.359909057617188 × 2 - 1) × π
    0.280181884765625 × 3.1415926535     		Φ = 0.880217350823471
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.09712016} λ = 0.09712016}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.880217350823471))-π/2
    2×atan(2.41142377440495)-π/2
    2×1.17768828675849-π/2
    2.35537657351699-1.57079632675     		φ = 0.78458025
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.09712016} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 5.564575°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.78458025 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 44.953137°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 33781 KachelY 23587 0.09712016 0.78458025 5.564575 44.953137
    Oben rechts KachelX + 1 33782 KachelY 23587 0.09721603 0.78458025 5.570068 44.953137
    Unten links KachelX 33781 KachelY + 1 23588 0.09712016 0.78451240 5.564575 44.949249
    Unten rechts KachelX + 1 33782 KachelY + 1 23588 0.09721603 0.78451240 5.570068 44.949249
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.78458025-0.78451240) × R
    6.78499999999804e-05 × 6371000     		dl = 432.272349999875m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.78458025-0.78451240) × R
    6.78499999999804e-05 × 6371000     		dr = 432.272349999875m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.09712016-0.09721603) × cos(0.78458025) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.707684896710866 × 6371000     		do = 432.245279924701m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.09712016-0.09721603) × cos(0.78451240) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.707732833019741 × 6371000     		du = 432.274558835901m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.78458025)-sin(0.78451240))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.707684896710866-0.707732833019741)×R²
    abs(0.09721603-0.09712016)×4.79363088754514e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.79363088754514e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.79363088754514e-05×40589641000000     		ar = 186854.011233144m²