Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 33780 / 23555
↖ ↑ ↗
← N 45.077400°
E  5.559082°		 ← 431.35 m → N 45.077400°
E  5.564575°		 →
↑
431.32 m
↓
↑
431.32 m
↓
N 45.073521°
E  5.559082°		 ← 431.38 m →
186 056 m²		 N 45.073521°
E  5.564575°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 33780 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 23555 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.515449523925781 y=0.359428405761719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.515449523925781 × 216)
    floor (0.515449523925781 × 65536)
    floor (33780.5)     		tx = 33780
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.359428405761719 × 216)
    floor (0.359428405761719 × 65536)
    floor (23555.5)     		ty = 23555
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 33780 / 23555 ti = "16/33780/23555"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/33780/23555.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 33780 ÷ 216
    33780 ÷ 65536     		x = 0.51544189453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 23555 ÷ 216
    23555 ÷ 65536     		y = 0.359420776367188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.51544189453125 × 2 - 1) × π
    0.0308837890625 × 3.1415926535     		Λ = 0.09702428
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.359420776367188 × 2 - 1) × π
    0.281158447265625 × 3.1415926535     		Φ = 0.883285312399155
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.09702428} λ = 0.09702428}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.883285312399155))-π/2
    2×atan(2.41883329013051)-π/2
    2×1.17877268524955-π/2
    2.35754537049911-1.57079632675     		φ = 0.78674904
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.09702428} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 5.559082°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.78674904 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 45.077400°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 33780 KachelY 23555 0.09702428 0.78674904 5.559082 45.077400
    Oben rechts KachelX + 1 33781 KachelY 23555 0.09712016 0.78674904 5.564575 45.077400
    Unten links KachelX 33780 KachelY + 1 23556 0.09702428 0.78668134 5.559082 45.073521
    Unten rechts KachelX + 1 33781 KachelY + 1 23556 0.09712016 0.78668134 5.564575 45.073521
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.78674904-0.78668134) × R
    6.77000000000039e-05 × 6371000     		dl = 431.316700000025m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.78674904-0.78668134) × R
    6.77000000000039e-05 × 6371000     		dr = 431.316700000025m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.09702428-0.09712016) × cos(0.78674904) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.706150922282832 × 6371000     		do = 431.3533359798m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.09702428-0.09712016) × cos(0.78668134) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.706198856417924 × 6371000     		du = 431.382616617163m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.78674904)-sin(0.78668134))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.706150922282832-0.706198856417924)×R²
    abs(0.09712016-0.09702428)×4.79341350918538e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.79341350918538e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.79341350918538e-05×40589641000000     		ar = 186056.212093651m²