Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 33780 / 23549
↖ ↑ ↗
← N 45.100669°
E  5.559082°		 ← 431.18 m → N 45.100669°
E  5.564575°		 →
↑
431.19 m
↓
↑
431.19 m
↓
N 45.096791°
E  5.559082°		 ← 431.21 m →
185 925 m²		 N 45.096791°
E  5.564575°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 33780 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 23549 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.515449523925781 y=0.359336853027344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.515449523925781 × 216)
    floor (0.515449523925781 × 65536)
    floor (33780.5)     		tx = 33780
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.359336853027344 × 216)
    floor (0.359336853027344 × 65536)
    floor (23549.5)     		ty = 23549
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 33780 / 23549 ti = "16/33780/23549"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/33780/23549.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 33780 ÷ 216
    33780 ÷ 65536     		x = 0.51544189453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 23549 ÷ 216
    23549 ÷ 65536     		y = 0.359329223632812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.51544189453125 × 2 - 1) × π
    0.0308837890625 × 3.1415926535     		Λ = 0.09702428
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.359329223632812 × 2 - 1) × π
    0.281341552734375 × 3.1415926535     		Φ = 0.883860555194595
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.09702428} λ = 0.09702428}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.883860555194595))-π/2
    2×atan(2.42022510683192)-π/2
    2×1.17897574800122-π/2
    2.35795149600244-1.57079632675     		φ = 0.78715517
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.09702428} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 5.559082°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.78715517 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 45.100669°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 33780 KachelY 23549 0.09702428 0.78715517 5.559082 45.100669
    Oben rechts KachelX + 1 33781 KachelY 23549 0.09712016 0.78715517 5.564575 45.100669
    Unten links KachelX 33780 KachelY + 1 23550 0.09702428 0.78708749 5.559082 45.096791
    Unten rechts KachelX + 1 33781 KachelY + 1 23550 0.09712016 0.78708749 5.564575 45.096791
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.78715517-0.78708749) × R
    6.76800000000144e-05 × 6371000     		dl = 431.189280000092m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.78715517-0.78708749) × R
    6.76800000000144e-05 × 6371000     		dr = 431.189280000092m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.09702428-0.09712016) × cos(0.78715517) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.705863299097956 × 6371000     		do = 431.177640931636m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.09702428-0.09712016) × cos(0.78708749) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.705911238479367 × 6371000     		du = 431.206924773721m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.78715517)-sin(0.78708749))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.705863299097956-0.705911238479367)×R²
    abs(0.09712016-0.09702428)×4.79393814114548e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.79393814114548e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.79393814114548e-05×40589641000000     		ar = 185925.490055774m²