Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3378 / 698
↖ ↑ ↗
← N 81.557073°
W 31.552734°		 ← 717.46 m → N 81.557073°
W 31.508789°		 →
↑
717.69 m
↓
↑
717.69 m
↓
N 81.550619°
W 31.552734°		 ← 718 m →
515 108 m²		 N 81.550619°
W 31.508789°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3378 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 698 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.41241455078125 y=0.08526611328125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.41241455078125 × 213)
    floor (0.41241455078125 × 8192)
    floor (3378.5)     		tx = 3378
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.08526611328125 × 213)
    floor (0.08526611328125 × 8192)
    floor (698.5)     		ty = 698
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3378 / 698 ti = "13/3378/698"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3378/698.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3378 ÷ 213
    3378 ÷ 8192     		x = 0.412353515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 698 ÷ 213
    698 ÷ 8192     		y = 0.085205078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.412353515625 × 2 - 1) × π
    -0.17529296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.55069910
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.085205078125 × 2 - 1) × π
    0.82958984375 × 3.1415926535     		Φ = 2.60623335854321
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.55069910} λ = -0.55069910}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.60623335854321))-π/2
    2×atan(13.5479244509766)-π/2
    2×1.49711789401404-π/2
    2.99423578802808-1.57079632675     		φ = 1.42343946
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.55069910} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -31.552734°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.42343946 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.557073°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3378 KachelY 698 -0.55069910 1.42343946 -31.552734 81.557073
    Oben rechts KachelX + 1 3379 KachelY 698 -0.54993211 1.42343946 -31.508789 81.557073
    Unten links KachelX 3378 KachelY + 1 699 -0.55069910 1.42332681 -31.552734 81.550619
    Unten rechts KachelX + 1 3379 KachelY + 1 699 -0.54993211 1.42332681 -31.508789 81.550619
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.42343946-1.42332681) × R
    0.000112649999999936 × 6371000     		dl = 717.693149999595m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.42343946-1.42332681) × R
    0.000112649999999936 × 6371000     		dr = 717.693149999595m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.55069910--0.54993211) × cos(1.42343946) × R
    0.000766990000000023 × 0.146824159849722 × 6371000     		do = 717.455271915576m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.55069910--0.54993211) × cos(1.42332681) × R
    0.000766990000000023 × 0.146935588085735 × 6371000     		du = 717.999765243168m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.42343946)-sin(1.42332681))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.146824159849722-0.146935588085735)×R²
    abs(-0.54993211--0.55069910)×0.000111428236012567×R²
    0.000766990000000023×0.000111428236012567×6371000²
    0.000766990000000023×0.000111428236012567×40589641000000     		ar = 515108.124196009m²