Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3378 / 682
↖ ↑ ↗
← N 81.659685°
W 31.552734°		 ← 708.80 m → N 81.659685°
W 31.508789°		 →
↑
709.03 m
↓
↑
709.03 m
↓
N 81.653309°
W 31.552734°		 ← 709.34 m →
502 749 m²		 N 81.653309°
W 31.508789°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3378 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 682 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.41241455078125 y=0.08331298828125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.41241455078125 × 213)
    floor (0.41241455078125 × 8192)
    floor (3378.5)     		tx = 3378
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.08331298828125 × 213)
    floor (0.08331298828125 × 8192)
    floor (682.5)     		ty = 682
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3378 / 682 ti = "13/3378/682"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3378/682.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3378 ÷ 213
    3378 ÷ 8192     		x = 0.412353515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 682 ÷ 213
    682 ÷ 8192     		y = 0.083251953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.412353515625 × 2 - 1) × π
    -0.17529296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.55069910
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.083251953125 × 2 - 1) × π
    0.83349609375 × 3.1415926535     		Φ = 2.61850520484595
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.55069910} λ = -0.55069910}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.61850520484595))-π/2
    2×atan(13.7152068300188)-π/2
    2×1.49801334938964-π/2
    2.99602669877929-1.57079632675     		φ = 1.42523037
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.55069910} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -31.552734°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.42523037 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.659685°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3378 KachelY 682 -0.55069910 1.42523037 -31.552734 81.659685
    Oben rechts KachelX + 1 3379 KachelY 682 -0.54993211 1.42523037 -31.508789 81.659685
    Unten links KachelX 3378 KachelY + 1 683 -0.55069910 1.42511908 -31.552734 81.653309
    Unten rechts KachelX + 1 3379 KachelY + 1 683 -0.54993211 1.42511908 -31.508789 81.653309
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.42523037-1.42511908) × R
    0.000111289999999986 × 6371000     		dl = 709.028589999912m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.42523037-1.42511908) × R
    0.000111289999999986 × 6371000     		dr = 709.028589999912m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.55069910--0.54993211) × cos(1.42523037) × R
    0.000766990000000023 × 0.145052424130675 × 6371000     		do = 708.797697212796m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.55069910--0.54993211) × cos(1.42511908) × R
    0.000766990000000023 × 0.145162536225901 × 6371000     		du = 709.33575922727m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.42523037)-sin(1.42511908))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.145052424130675-0.145162536225901)×R²
    abs(-0.54993211--0.55069910)×0.00011011209522685×R²
    0.000766990000000023×0.00011011209522685×6371000²
    0.000766990000000023×0.00011011209522685×40589641000000     		ar = 502748.583045057m²