Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
13 / 3378 / 1009
↖ ↑ ↗
← N 79.294479°
W 31.552734°		 ← 907.72 m → N 79.294479°
W 31.508789°		 →
↑
908.06 m
↓
↑
908.06 m
↓
N 79.286313°
W 31.552734°		 ← 908.41 m →
824 575 m²		 N 79.286313°
W 31.508789°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3378 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1009 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.41241455078125 y=0.12322998046875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.41241455078125 × 213)
    floor (0.41241455078125 × 8192)
    floor (3378.5)     		tx = 3378
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.12322998046875 × 213)
    floor (0.12322998046875 × 8192)
    floor (1009.5)     		ty = 1009
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3378 / 1009 ti = "13/3378/1009"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3378/1009.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3378 ÷ 213
    3378 ÷ 8192     		x = 0.412353515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1009 ÷ 213
    1009 ÷ 8192     		y = 0.1231689453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.412353515625 × 2 - 1) × π
    -0.17529296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.55069910
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1231689453125 × 2 - 1) × π
    0.753662109375 × 3.1415926535     		Φ = 2.36769934603381
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.55069910} λ = -0.55069910}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.36769934603381))-π/2
    2×atan(10.6728095751213)-π/2
    2×1.47737303511575-π/2
    2.9547460702315-1.57079632675     		φ = 1.38394974
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.55069910} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -31.552734°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38394974 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.294479°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3378 KachelY 1009 -0.55069910 1.38394974 -31.552734 79.294479
    Oben rechts KachelX + 1 3379 KachelY 1009 -0.54993211 1.38394974 -31.508789 79.294479
    Unten links KachelX 3378 KachelY + 1 1010 -0.55069910 1.38380721 -31.552734 79.286313
    Unten rechts KachelX + 1 3379 KachelY + 1 1010 -0.54993211 1.38380721 -31.508789 79.286313
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38394974-1.38380721) × R
    0.000142529999999974 × 6371000     		dl = 908.058629999835m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38394974-1.38380721) × R
    0.000142529999999974 × 6371000     		dr = 908.058629999835m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.55069910--0.54993211) × cos(1.38394974) × R
    0.000766990000000023 × 0.185761295979177 × 6371000     		do = 907.721326343977m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.55069910--0.54993211) × cos(1.38380721) × R
    0.000766990000000023 × 0.185901343343195 × 6371000     		du = 908.405666848534m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38394974)-sin(1.38380721))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.185761295979177-0.185901343343195)×R²
    abs(-0.54993211--0.55069910)×0.000140047364018236×R²
    0.000766990000000023×0.000140047364018236×6371000²
    0.000766990000000023×0.000140047364018236×40589641000000     		ar = 824574.896068613m²