Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 33778 / 23586
↖ ↑ ↗
← N 44.957024°
E  5.548096°		 ← 432.22 m → N 44.957024°
E  5.553589°		 →
↑
432.21 m
↓
↑
432.21 m
↓
N 44.953137°
E  5.548096°		 ← 432.25 m →
186 814 m²		 N 44.953137°
E  5.553589°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 33778 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 23586 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.515419006347656 y=0.359901428222656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.515419006347656 × 216)
    floor (0.515419006347656 × 65536)
    floor (33778.5)     		tx = 33778
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.359901428222656 × 216)
    floor (0.359901428222656 × 65536)
    floor (23586.5)     		ty = 23586
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 33778 / 23586 ti = "16/33778/23586"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/33778/23586.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 33778 ÷ 216
    33778 ÷ 65536     		x = 0.515411376953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 23586 ÷ 216
    23586 ÷ 65536     		y = 0.359893798828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.515411376953125 × 2 - 1) × π
    0.03082275390625 × 3.1415926535     		Λ = 0.09683254
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.359893798828125 × 2 - 1) × π
    0.28021240234375 × 3.1415926535     		Φ = 0.880313224622711
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.09683254} λ = 0.09683254}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.880313224622711))-π/2
    2×atan(2.41165497784678)-π/2
    2×1.17772220982949-π/2
    2.35544441965898-1.57079632675     		φ = 0.78464809
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.09683254} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 5.548096°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.78464809 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 44.957024°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 33778 KachelY 23586 0.09683254 0.78464809 5.548096 44.957024
    Oben rechts KachelX + 1 33779 KachelY 23586 0.09692841 0.78464809 5.553589 44.957024
    Unten links KachelX 33778 KachelY + 1 23587 0.09683254 0.78458025 5.548096 44.953137
    Unten rechts KachelX + 1 33779 KachelY + 1 23587 0.09692841 0.78458025 5.553589 44.953137
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.78464809-0.78458025) × R
    6.78400000000412e-05 × 6371000     		dl = 432.208640000263m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.78464809-0.78458025) × R
    6.78400000000412e-05 × 6371000     		dr = 432.208640000263m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.09683254-0.09692841) × cos(0.78464809) × R
    9.58700000000118e-05 × 0.707636964209838 × 6371000     		do = 432.21600333935m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.09683254-0.09692841) × cos(0.78458025) × R
    9.58700000000118e-05 × 0.707684896710866 × 6371000     		du = 432.245279924763m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.78464809)-sin(0.78458025))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.707636964209838-0.707684896710866)×R²
    abs(0.09692841-0.09683254)×4.79325010275256e-05×R²
    9.58700000000118e-05×4.79325010275256e-05×6371000²
    9.58700000000118e-05×4.79325010275256e-05×40589641000000     		ar = 186813.817857899m²