Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 33775 / 23558
↖ ↑ ↗
← N 45.065762°
E  5.531616°		 ← 431.40 m → N 45.065762°
E  5.537109°		 →
↑
431.44 m
↓
↑
431.44 m
↓
N 45.061882°
E  5.531616°		 ← 431.43 m →
186 130 m²		 N 45.061882°
E  5.537109°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 33775 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 23558 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.515373229980469 y=0.359474182128906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.515373229980469 × 216)
    floor (0.515373229980469 × 65536)
    floor (33775.5)     		tx = 33775
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.359474182128906 × 216)
    floor (0.359474182128906 × 65536)
    floor (23558.5)     		ty = 23558
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 33775 / 23558 ti = "16/33775/23558"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/33775/23558.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 33775 ÷ 216
    33775 ÷ 65536     		x = 0.515365600585938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 23558 ÷ 216
    23558 ÷ 65536     		y = 0.359466552734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.515365600585938 × 2 - 1) × π
    0.030731201171875 × 3.1415926535     		Λ = 0.09654492
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.359466552734375 × 2 - 1) × π
    0.28106689453125 × 3.1415926535     		Φ = 0.882997691001434
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.09654492} λ = 0.09654492}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.882997691001434))-π/2
    2×atan(2.41813768195945)-π/2
    2×1.17867112285157-π/2
    2.35734224570315-1.57079632675     		φ = 0.78654592
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.09654492} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 5.531616°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.78654592 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 45.065762°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 33775 KachelY 23558 0.09654492 0.78654592 5.531616 45.065762
    Oben rechts KachelX + 1 33776 KachelY 23558 0.09664079 0.78654592 5.537109 45.065762
    Unten links KachelX 33775 KachelY + 1 23559 0.09654492 0.78647820 5.531616 45.061882
    Unten rechts KachelX + 1 33776 KachelY + 1 23559 0.09664079 0.78647820 5.537109 45.061882
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.78654592-0.78647820) × R
    6.77199999999933e-05 × 6371000     		dl = 431.444119999958m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.78654592-0.78647820) × R
    6.77199999999933e-05 × 6371000     		dr = 431.444119999958m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.09654492-0.09664079) × cos(0.78654592) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.706294729136104 × 6371000     		do = 431.396182571786m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.09654492-0.09664079) × cos(0.78647820) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.70634266771684 × 6371000     		du = 431.42546287061m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.78654592)-sin(0.78647820))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.706294729136104-0.70634266771684)×R²
    abs(0.09664079-0.09654492)×4.79385807354848e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.79385807354848e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.79385807354848e-05×40589641000000     		ar = 186129.662838248m²