Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 33774 / 22481
↖ ↑ ↗
← N 49.091855°
E  5.526123°		 ← 400.02 m → N 49.091855°
E  5.531616°		 →
↑
400.04 m
↓
↑
400.04 m
↓
N 49.088258°
E  5.526123°		 ← 400.04 m →
160 026 m²		 N 49.088258°
E  5.531616°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 33774 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22481 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.515357971191406 y=0.343040466308594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.515357971191406 × 216)
    floor (0.515357971191406 × 65536)
    floor (33774.5)     		tx = 33774
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.343040466308594 × 216)
    floor (0.343040466308594 × 65536)
    floor (22481.5)     		ty = 22481
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 33774 / 22481 ti = "16/33774/22481"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/33774/22481.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 33774 ÷ 216
    33774 ÷ 65536     		x = 0.515350341796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22481 ÷ 216
    22481 ÷ 65536     		y = 0.343032836914062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.515350341796875 × 2 - 1) × π
    0.03070068359375 × 3.1415926535     		Λ = 0.09644904
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.343032836914062 × 2 - 1) × π
    0.313934326171875 × 3.1415926535     		Φ = 0.986253772783035
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.09644904} λ = 0.09644904}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.986253772783035))-π/2
    2×atan(2.6811713576478)-π/2
    2×1.21380541712619-π/2
    2.42761083425238-1.57079632675     		φ = 0.85681451
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.09644904} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 5.526123°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.85681451 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.091855°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 33774 KachelY 22481 0.09644904 0.85681451 5.526123 49.091855
    Oben rechts KachelX + 1 33775 KachelY 22481 0.09654492 0.85681451 5.531616 49.091855
    Unten links KachelX 33774 KachelY + 1 22482 0.09644904 0.85675172 5.526123 49.088258
    Unten rechts KachelX + 1 33775 KachelY + 1 22482 0.09654492 0.85675172 5.531616 49.088258
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.85681451-0.85675172) × R
    6.27899999999793e-05 × 6371000     		dl = 400.035089999868m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.85681451-0.85675172) × R
    6.27899999999793e-05 × 6371000     		dr = 400.035089999868m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.09644904-0.09654492) × cos(0.85681451) × R
    9.58800000000065e-05 × 0.654848253735203 × 6371000     		do = 400.015024969592m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.09644904-0.09654492) × cos(0.85675172) × R
    9.58800000000065e-05 × 0.654895706639058 × 6371000     		du = 400.044011646142m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.85681451)-sin(0.85675172))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.654848253735203-0.654895706639058)×R²
    abs(0.09654492-0.09644904)×4.74529038553273e-05×R²
    9.58800000000065e-05×4.74529038553273e-05×6371000²
    9.58800000000065e-05×4.74529038553273e-05×40589641000000     		ar = 160025.844411347m²