Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 33773 / 23619
↖ ↑ ↗
← N 44.828604°
E  5.520630°		 ← 433.18 m → N 44.828604°
E  5.526123°		 →
↑
433.16 m
↓
↑
433.16 m
↓
N 44.824709°
E  5.520630°		 ← 433.21 m →
187 645 m²		 N 44.824709°
E  5.526123°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 33773 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 23619 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.515342712402344 y=0.360404968261719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.515342712402344 × 216)
    floor (0.515342712402344 × 65536)
    floor (33773.5)     		tx = 33773
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.360404968261719 × 216)
    floor (0.360404968261719 × 65536)
    floor (23619.5)     		ty = 23619
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 33773 / 23619 ti = "16/33773/23619"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/33773/23619.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 33773 ÷ 216
    33773 ÷ 65536     		x = 0.515335083007812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 23619 ÷ 216
    23619 ÷ 65536     		y = 0.360397338867188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.515335083007812 × 2 - 1) × π
    0.030670166015625 × 3.1415926535     		Λ = 0.09635317
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.360397338867188 × 2 - 1) × π
    0.279205322265625 × 3.1415926535     		Φ = 0.877149389247788
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.09635317} λ = 0.09635317}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.877149389247788))-π/2
    2×atan(2.40403695595394)-π/2
    2×1.17660153517723-π/2
    2.35320307035445-1.57079632675     		φ = 0.78240674
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.09635317} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 5.520630°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.78240674 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 44.828604°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 33773 KachelY 23619 0.09635317 0.78240674 5.520630 44.828604
    Oben rechts KachelX + 1 33774 KachelY 23619 0.09644904 0.78240674 5.526123 44.828604
    Unten links KachelX 33773 KachelY + 1 23620 0.09635317 0.78233875 5.520630 44.824709
    Unten rechts KachelX + 1 33774 KachelY + 1 23620 0.09644904 0.78233875 5.526123 44.824709
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.78240674-0.78233875) × R
    6.79900000000178e-05 × 6371000     		dl = 433.164290000113m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.78240674-0.78233875) × R
    6.79900000000178e-05 × 6371000     		dr = 433.164290000113m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.09635317-0.09644904) × cos(0.78240674) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.709218869991076 × 6371000     		do = 433.182212043759m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.09635317-0.09644904) × cos(0.78233875) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.709266800510727 × 6371000     		du = 433.211487418972m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.78240674)-sin(0.78233875))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.709218869991076-0.709266800510727)×R²
    abs(0.09644904-0.09635317)×4.79305196513513e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.79305196513513e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.79305196513513e-05×40589641000000     		ar = 187645.405916451m²