Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3377 / 910
↖ ↑ ↗
← N 80.073212°
W 31.596680°		 ← 842.38 m → N 80.073212°
W 31.552734°		 →
↑
842.69 m
↓
↑
842.69 m
↓
N 80.065634°
W 31.596680°		 ← 843.02 m →
710 136 m²		 N 80.065634°
W 31.552734°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3377 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 910 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.41229248046875 y=0.11114501953125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.41229248046875 × 213)
    floor (0.41229248046875 × 8192)
    floor (3377.5)     		tx = 3377
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.11114501953125 × 213)
    floor (0.11114501953125 × 8192)
    floor (910.5)     		ty = 910
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3377 / 910 ti = "13/3377/910"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3377/910.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3377 ÷ 213
    3377 ÷ 8192     		x = 0.4122314453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 910 ÷ 213
    910 ÷ 8192     		y = 0.111083984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4122314453125 × 2 - 1) × π
    -0.175537109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.55146609
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.111083984375 × 2 - 1) × π
    0.77783203125 × 3.1415926535     		Φ = 2.44363139503198
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.55146609} λ = -0.55146609}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.44363139503198))-π/2
    2×atan(11.5147796252675)-π/2
    2×1.48416876333258-π/2
    2.96833752666516-1.57079632675     		φ = 1.39754120
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.55146609} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -31.596680°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39754120 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.073212°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3377 KachelY 910 -0.55146609 1.39754120 -31.596680 80.073212
    Oben rechts KachelX + 1 3378 KachelY 910 -0.55069910 1.39754120 -31.552734 80.073212
    Unten links KachelX 3377 KachelY + 1 911 -0.55146609 1.39740893 -31.596680 80.065634
    Unten rechts KachelX + 1 3378 KachelY + 1 911 -0.55069910 1.39740893 -31.552734 80.065634
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39754120-1.39740893) × R
    0.000132269999999934 × 6371000     		dl = 842.692169999582m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39754120-1.39740893) × R
    0.000132269999999934 × 6371000     		dr = 842.692169999582m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.55146609--0.55069910) × cos(1.39754120) × R
    0.000766990000000023 × 0.172389650470158 × 6371000     		do = 842.380870287896m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.55146609--0.55069910) × cos(1.39740893) × R
    0.000766990000000023 × 0.172519938725951 × 6371000     		du = 843.017522975595m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39754120)-sin(1.39740893))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.172389650470158-0.172519938725951)×R²
    abs(-0.55069910--0.55146609)×0.000130288255793115×R²
    0.000766990000000023×0.000130288255793115×6371000²
    0.000766990000000023×0.000130288255793115×40589641000000     		ar = 710136.015702149m²