Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3377 / 1170
↖ ↑ ↗
← N 77.897255°
W 31.596680°		 ← 1 024.53 m → N 77.897255°
W 31.552734°		 →
↑
1 024.90 m
↓
↑
1 024.90 m
↓
N 77.888038°
W 31.596680°		 ← 1 025.30 m →
1 050 436 m²		 N 77.888038°
W 31.552734°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3377 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1170 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.41229248046875 y=0.14288330078125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.41229248046875 × 213)
    floor (0.41229248046875 × 8192)
    floor (3377.5)     		tx = 3377
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.14288330078125 × 213)
    floor (0.14288330078125 × 8192)
    floor (1170.5)     		ty = 1170
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3377 / 1170 ti = "13/3377/1170"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3377/1170.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3377 ÷ 213
    3377 ÷ 8192     		x = 0.4122314453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1170 ÷ 213
    1170 ÷ 8192     		y = 0.142822265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4122314453125 × 2 - 1) × π
    -0.175537109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.55146609
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.142822265625 × 2 - 1) × π
    0.71435546875 × 3.1415926535     		Φ = 2.24421389261255
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.55146609} λ = -0.55146609}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.24421389261255))-π/2
    2×atan(9.432997292209)-π/2
    2×1.46517995393398-π/2
    2.93035990786796-1.57079632675     		φ = 1.35956358
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.55146609} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -31.596680°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35956358 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.897255°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3377 KachelY 1170 -0.55146609 1.35956358 -31.596680 77.897255
    Oben rechts KachelX + 1 3378 KachelY 1170 -0.55069910 1.35956358 -31.552734 77.897255
    Unten links KachelX 3377 KachelY + 1 1171 -0.55146609 1.35940271 -31.596680 77.888038
    Unten rechts KachelX + 1 3378 KachelY + 1 1171 -0.55069910 1.35940271 -31.552734 77.888038
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35956358-1.35940271) × R
    0.000160870000000202 × 6371000     		dl = 1024.90277000129m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35956358-1.35940271) × R
    0.000160870000000202 × 6371000     		dr = 1024.90277000129m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.55146609--0.55069910) × cos(1.35956358) × R
    0.000766990000000023 × 0.209665405621616 × 6371000     		do = 1024.52859771519m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.55146609--0.55069910) × cos(1.35940271) × R
    0.000766990000000023 × 0.209822697281575 × 6371000     		du = 1025.29720235615m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35956358)-sin(1.35940271))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.209665405621616-0.209822697281575)×R²
    abs(-0.55069910--0.55146609)×0.000157291659958286×R²
    0.000766990000000023×0.000157291659958286×6371000²
    0.000766990000000023×0.000157291659958286×40589641000000     		ar = 1050436.07252265m²