Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3377 / 1002
↖ ↑ ↗
← N 79.351472°
W 31.596680°		 ← 902.94 m → N 79.351472°
W 31.552734°		 →
↑
903.28 m
↓
↑
903.28 m
↓
N 79.343349°
W 31.596680°		 ← 903.63 m →
815 920 m²		 N 79.343349°
W 31.552734°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3377 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1002 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.41229248046875 y=0.12237548828125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.41229248046875 × 213)
    floor (0.41229248046875 × 8192)
    floor (3377.5)     		tx = 3377
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.12237548828125 × 213)
    floor (0.12237548828125 × 8192)
    floor (1002.5)     		ty = 1002
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3377 / 1002 ti = "13/3377/1002"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3377/1002.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3377 ÷ 213
    3377 ÷ 8192     		x = 0.4122314453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1002 ÷ 213
    1002 ÷ 8192     		y = 0.122314453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4122314453125 × 2 - 1) × π
    -0.175537109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.55146609
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.122314453125 × 2 - 1) × π
    0.75537109375 × 3.1415926535     		Φ = 2.37306827879126
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.55146609} λ = -0.55146609}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.37306827879126))-π/2
    2×atan(10.7302652719341)-π/2
    2×1.47787039192495-π/2
    2.9557407838499-1.57079632675     		φ = 1.38494446
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.55146609} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -31.596680°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38494446 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.351472°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3377 KachelY 1002 -0.55146609 1.38494446 -31.596680 79.351472
    Oben rechts KachelX + 1 3378 KachelY 1002 -0.55069910 1.38494446 -31.552734 79.351472
    Unten links KachelX 3377 KachelY + 1 1003 -0.55146609 1.38480268 -31.596680 79.343349
    Unten rechts KachelX + 1 3378 KachelY + 1 1003 -0.55069910 1.38480268 -31.552734 79.343349
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38494446-1.38480268) × R
    0.000141780000000091 × 6371000     		dl = 903.280380000582m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38494446-1.38480268) × R
    0.000141780000000091 × 6371000     		dr = 903.280380000582m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.55146609--0.55069910) × cos(1.38494446) × R
    0.000766990000000023 × 0.184783797437298 × 6371000     		do = 902.944786278101m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.55146609--0.55069910) × cos(1.38480268) × R
    0.000766990000000023 × 0.184923134014026 × 6371000     		du = 903.625653525336m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38494446)-sin(1.38480268))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.184783797437298-0.184923134014026)×R²
    abs(-0.55069910--0.55146609)×0.000139336576728322×R²
    0.000766990000000023×0.000139336576728322×6371000²
    0.000766990000000023×0.000139336576728322×40589641000000     		ar = 815919.818047881m²