Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 33769 / 23612
↖ ↑ ↗
← N 44.855869°
E  5.498657°		 ← 433.02 m → N 44.855869°
E  5.504151°		 →
↑
433.04 m
↓
↑
433.04 m
↓
N 44.851974°
E  5.498657°		 ← 433.05 m →
187 521 m²		 N 44.851974°
E  5.504151°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 33769 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 23612 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.515281677246094 y=0.360298156738281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.515281677246094 × 216)
    floor (0.515281677246094 × 65536)
    floor (33769.5)     		tx = 33769
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.360298156738281 × 216)
    floor (0.360298156738281 × 65536)
    floor (23612.5)     		ty = 23612
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 33769 / 23612 ti = "16/33769/23612"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/33769/23612.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 33769 ÷ 216
    33769 ÷ 65536     		x = 0.515274047851562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 23612 ÷ 216
    23612 ÷ 65536     		y = 0.36029052734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.515274047851562 × 2 - 1) × π
    0.030548095703125 × 3.1415926535     		Λ = 0.09596967
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.36029052734375 × 2 - 1) × π
    0.2794189453125 × 3.1415926535     		Φ = 0.877820505842468
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.09596967} λ = 0.09596967}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.877820505842468))-π/2
    2×atan(2.40565088655653)-π/2
    2×1.17683946315406-π/2
    2.35367892630812-1.57079632675     		φ = 0.78288260
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.09596967} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 5.498657°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.78288260 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 44.855869°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 33769 KachelY 23612 0.09596967 0.78288260 5.498657 44.855869
    Oben rechts KachelX + 1 33770 KachelY 23612 0.09606555 0.78288260 5.504151 44.855869
    Unten links KachelX 33769 KachelY + 1 23613 0.09596967 0.78281463 5.498657 44.851974
    Unten rechts KachelX + 1 33770 KachelY + 1 23613 0.09606555 0.78281463 5.504151 44.851974
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.78288260-0.78281463) × R
    6.79700000000283e-05 × 6371000     		dl = 433.03687000018m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.78288260-0.78281463) × R
    6.79700000000283e-05 × 6371000     		dr = 433.03687000018m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.09596967-0.09606555) × cos(0.78288260) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.708883313941751 × 6371000     		do = 433.02242146859m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.09596967-0.09606555) × cos(0.78281463) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.708931253297068 × 6371000     		du = 433.051705294736m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.78288260)-sin(0.78281463))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.708883313941751-0.708931253297068)×R²
    abs(0.09606555-0.09596967)×4.79393553172169e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.79393553172169e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.79393553172169e-05×40589641000000     		ar = 187521.014593068m²