Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 33766 / 23610
↖ ↑ ↗
← N 44.863656°
E  5.482178°		 ← 432.96 m → N 44.863656°
E  5.487671°		 →
↑
432.97 m
↓
↑
432.97 m
↓
N 44.859763°
E  5.482178°		 ← 432.99 m →
187 468 m²		 N 44.859763°
E  5.487671°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 33766 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 23610 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.515235900878906 y=0.360267639160156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.515235900878906 × 216)
    floor (0.515235900878906 × 65536)
    floor (33766.5)     		tx = 33766
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.360267639160156 × 216)
    floor (0.360267639160156 × 65536)
    floor (23610.5)     		ty = 23610
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 33766 / 23610 ti = "16/33766/23610"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/33766/23610.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 33766 ÷ 216
    33766 ÷ 65536     		x = 0.515228271484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 23610 ÷ 216
    23610 ÷ 65536     		y = 0.360260009765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.515228271484375 × 2 - 1) × π
    0.03045654296875 × 3.1415926535     		Λ = 0.09568205
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.360260009765625 × 2 - 1) × π
    0.27947998046875 × 3.1415926535     		Φ = 0.878012253440948
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.09568205} λ = 0.09568205}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.878012253440948))-π/2
    2×atan(2.40611220856409)-π/2
    2×1.17690742189478-π/2
    2.35381484378956-1.57079632675     		φ = 0.78301852
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.09568205} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 5.482178°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.78301852 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 44.863656°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 33766 KachelY 23610 0.09568205 0.78301852 5.482178 44.863656
    Oben rechts KachelX + 1 33767 KachelY 23610 0.09577793 0.78301852 5.487671 44.863656
    Unten links KachelX 33766 KachelY + 1 23611 0.09568205 0.78295056 5.482178 44.859763
    Unten rechts KachelX + 1 33767 KachelY + 1 23611 0.09577793 0.78295056 5.487671 44.859763
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.78301852-0.78295056) × R
    6.79600000000891e-05 × 6371000     		dl = 432.973160000567m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.78301852-0.78295056) × R
    6.79600000000891e-05 × 6371000     		dr = 432.973160000567m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.09568205-0.09577793) × cos(0.78301852) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.708787439514826 × 6371000     		do = 432.963856433009m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.09568205-0.09577793) × cos(0.78295056) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.708835378365188 × 6371000     		du = 432.993139950702m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.78301852)-sin(0.78295056))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.708787439514826-0.708835378365188)×R²
    abs(0.09577793-0.09568205)×4.79388503624723e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.79388503624723e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.79388503624723e-05×40589641000000     		ar = 187468.068646572m²