Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 33765 / 23605
↖ ↑ ↗
← N 44.883120°
E  5.476685°		 ← 432.77 m → N 44.883120°
E  5.482178°		 →
↑
432.78 m
↓
↑
432.78 m
↓
N 44.879228°
E  5.476685°		 ← 432.80 m →
187 302 m²		 N 44.879228°
E  5.482178°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 33765 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 23605 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.515220642089844 y=0.360191345214844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.515220642089844 × 216)
    floor (0.515220642089844 × 65536)
    floor (33765.5)     		tx = 33765
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.360191345214844 × 216)
    floor (0.360191345214844 × 65536)
    floor (23605.5)     		ty = 23605
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 33765 / 23605 ti = "16/33765/23605"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/33765/23605.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 33765 ÷ 216
    33765 ÷ 65536     		x = 0.515213012695312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 23605 ÷ 216
    23605 ÷ 65536     		y = 0.360183715820312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.515213012695312 × 2 - 1) × π
    0.030426025390625 × 3.1415926535     		Λ = 0.09558618
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.360183715820312 × 2 - 1) × π
    0.279632568359375 × 3.1415926535     		Φ = 0.878491622437149
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.09558618} λ = 0.09558618}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.878491622437149))-π/2
    2×atan(2.40726590065827)-π/2
    2×1.17707727853295-π/2
    2.35415455706591-1.57079632675     		φ = 0.78335823
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.09558618} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 5.476685°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.78335823 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 44.883120°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 33765 KachelY 23605 0.09558618 0.78335823 5.476685 44.883120
    Oben rechts KachelX + 1 33766 KachelY 23605 0.09568205 0.78335823 5.482178 44.883120
    Unten links KachelX 33765 KachelY + 1 23606 0.09558618 0.78329030 5.476685 44.879228
    Unten rechts KachelX + 1 33766 KachelY + 1 23606 0.09568205 0.78329030 5.482178 44.879228
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.78335823-0.78329030) × R
    6.79300000000493e-05 × 6371000     		dl = 432.782030000314m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.78335823-0.78329030) × R
    6.79300000000493e-05 × 6371000     		dr = 432.782030000314m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.09558618-0.09568205) × cos(0.78335823) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.708547759673426 × 6371000     		do = 432.772306069418m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.09558618-0.09568205) × cos(0.78329030) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.708595693716691 × 6371000     		du = 432.801583596811m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.78335823)-sin(0.78329030))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.708547759673426-0.708595693716691)×R²
    abs(0.09568205-0.09558618)×4.79340432648634e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.79340432648634e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.79340432648634e-05×40589641000000     		ar = 187302.412614937m²