Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 33760 / 23601
↖ ↑ ↗
← N 44.898687°
E  5.449219°		 ← 432.66 m → N 44.898687°
E  5.454712°		 →
↑
432.72 m
↓
↑
432.72 m
↓
N 44.894796°
E  5.449219°		 ← 432.68 m →
187 224 m²		 N 44.894796°
E  5.454712°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 33760 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 23601 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.515144348144531 y=0.360130310058594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.515144348144531 × 216)
    floor (0.515144348144531 × 65536)
    floor (33760.5)     		tx = 33760
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.360130310058594 × 216)
    floor (0.360130310058594 × 65536)
    floor (23601.5)     		ty = 23601
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 33760 / 23601 ti = "16/33760/23601"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/33760/23601.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 33760 ÷ 216
    33760 ÷ 65536     		x = 0.51513671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 23601 ÷ 216
    23601 ÷ 65536     		y = 0.360122680664062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.51513671875 × 2 - 1) × π
    0.0302734375 × 3.1415926535     		Λ = 0.09510681
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.360122680664062 × 2 - 1) × π
    0.279754638671875 × 3.1415926535     		Φ = 0.87887511763411
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.09510681} λ = 0.09510681}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.87887511763411))-π/2
    2×atan(2.40818925260819)-π/2
    2×1.17721312248081-π/2
    2.35442624496163-1.57079632675     		φ = 0.78362992
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.09510681} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 5.449219°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.78362992 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 44.898687°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 33760 KachelY 23601 0.09510681 0.78362992 5.449219 44.898687
    Oben rechts KachelX + 1 33761 KachelY 23601 0.09520268 0.78362992 5.454712 44.898687
    Unten links KachelX 33760 KachelY + 1 23602 0.09510681 0.78356200 5.449219 44.894796
    Unten rechts KachelX + 1 33761 KachelY + 1 23602 0.09520268 0.78356200 5.454712 44.894796
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.78362992-0.78356200) × R
    6.79199999999991e-05 × 6371000     		dl = 432.718319999994m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.78362992-0.78356200) × R
    6.79199999999991e-05 × 6371000     		dr = 432.718319999994m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.09510681-0.09520268) × cos(0.78362992) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.70835601198241 × 6371000     		do = 432.65518892482m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.09510681-0.09520268) × cos(0.78356200) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.708403952043164 × 6371000     		du = 432.684470127621m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.78362992)-sin(0.78356200))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.70835601198241-0.708403952043164)×R²
    abs(0.09520268-0.09510681)×4.79400607534819e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.79400607534819e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.79400607534819e-05×40589641000000     		ar = 187224.161819279m²