Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 33760 / 23520
↖ ↑ ↗
← N 45.213004°
E  5.449219°		 ← 430.28 m → N 45.213004°
E  5.454712°		 →
↑
430.36 m
↓
↑
430.36 m
↓
N 45.209133°
E  5.449219°		 ← 430.31 m →
185 184 m²		 N 45.209133°
E  5.454712°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 33760 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 23520 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.515144348144531 y=0.358894348144531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.515144348144531 × 216)
    floor (0.515144348144531 × 65536)
    floor (33760.5)     		tx = 33760
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.358894348144531 × 216)
    floor (0.358894348144531 × 65536)
    floor (23520.5)     		ty = 23520
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 33760 / 23520 ti = "16/33760/23520"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/33760/23520.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 33760 ÷ 216
    33760 ÷ 65536     		x = 0.51513671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 23520 ÷ 216
    23520 ÷ 65536     		y = 0.35888671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.51513671875 × 2 - 1) × π
    0.0302734375 × 3.1415926535     		Λ = 0.09510681
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.35888671875 × 2 - 1) × π
    0.2822265625 × 3.1415926535     		Φ = 0.886640895372559
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.09510681} λ = 0.09510681}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.886640895372559))-π/2
    2×atan(2.42696351913456)-π/2
    2×1.17995605177252-π/2
    2.35991210354504-1.57079632675     		φ = 0.78911578
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.09510681} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 5.449219°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.78911578 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 45.213004°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 33760 KachelY 23520 0.09510681 0.78911578 5.449219 45.213004
    Oben rechts KachelX + 1 33761 KachelY 23520 0.09520268 0.78911578 5.454712 45.213004
    Unten links KachelX 33760 KachelY + 1 23521 0.09510681 0.78904823 5.449219 45.209133
    Unten rechts KachelX + 1 33761 KachelY + 1 23521 0.09520268 0.78904823 5.454712 45.209133
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.78911578-0.78904823) × R
    6.75500000000273e-05 × 6371000     		dl = 430.361050000174m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.78911578-0.78904823) × R
    6.75500000000273e-05 × 6371000     		dr = 430.361050000174m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.09510681-0.09520268) × cos(0.78911578) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.70447314899197 × 6371000     		do = 430.283583697674m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.09510681-0.09520268) × cos(0.78904823) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.704521089689457 × 6371000     		du = 430.312865289384m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.78911578)-sin(0.78904823))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.70447314899197-0.704521089689457)×R²
    abs(0.09520268-0.09510681)×4.79406974865926e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.79406974865926e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.79406974865926e-05×40589641000000     		ar = 185183.595776512m²