Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
13 / 3376 / 816
↖ ↑ ↗
← N 80.760615°
W 31.640625°		 ← 784.57 m → N 80.760615°
W 31.596680°		 →
↑
784.84 m
↓
↑
784.84 m
↓
N 80.753556°
W 31.640625°		 ← 785.17 m →
616 001 m²		 N 80.753556°
W 31.596680°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3376 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 816 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.41217041015625 y=0.09967041015625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.41217041015625 × 213)
    floor (0.41217041015625 × 8192)
    floor (3376.5)     		tx = 3376
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.09967041015625 × 213)
    floor (0.09967041015625 × 8192)
    floor (816.5)     		ty = 816
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3376 / 816 ti = "13/3376/816"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3376/816.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3376 ÷ 213
    3376 ÷ 8192     		x = 0.412109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 816 ÷ 213
    816 ÷ 8192     		y = 0.099609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.412109375 × 2 - 1) × π
    -0.17578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.55223308
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.099609375 × 2 - 1) × π
    0.80078125 × 3.1415926535     		Φ = 2.51572849206055
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.55223308} λ = -0.55223308}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.51572849206055))-π/2
    2×atan(12.3756210377045)-π/2
    2×1.49016747968211-π/2
    2.98033495936421-1.57079632675     		φ = 1.40953863
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.55223308} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -31.640625°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40953863 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.760615°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3376 KachelY 816 -0.55223308 1.40953863 -31.640625 80.760615
    Oben rechts KachelX + 1 3377 KachelY 816 -0.55146609 1.40953863 -31.596680 80.760615
    Unten links KachelX 3376 KachelY + 1 817 -0.55223308 1.40941544 -31.640625 80.753556
    Unten rechts KachelX + 1 3377 KachelY + 1 817 -0.55146609 1.40941544 -31.596680 80.753556
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40953863-1.40941544) × R
    0.000123189999999829 × 6371000     		dl = 784.843489998909m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40953863-1.40941544) × R
    0.000123189999999829 × 6371000     		dr = 784.843489998909m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.55223308--0.55146609) × cos(1.40953863) × R
    0.000766990000000023 × 0.160559712872195 × 6371000     		do = 784.573959594332m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.55223308--0.55146609) × cos(1.40941544) × R
    0.000766990000000023 × 0.160681303402365 × 6371000     		du = 785.168110904132m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40953863)-sin(1.40941544))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.160559712872195-0.160681303402365)×R²
    abs(-0.55146609--0.55223308)×0.00012159053016933×R²
    0.000766990000000023×0.00012159053016933×6371000²
    0.000766990000000023×0.00012159053016933×40589641000000     		ar = 616000.923281129m²