Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 33759 / 23615
↖ ↑ ↗
← N 44.844186°
E  5.443726°		 ← 433.07 m → N 44.844186°
E  5.449219°		 →
↑
433.10 m
↓
↑
433.10 m
↓
N 44.840291°
E  5.443726°		 ← 433.09 m →
187 567 m²		 N 44.840291°
E  5.449219°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 33759 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 23615 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.515129089355469 y=0.360343933105469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.515129089355469 × 216)
    floor (0.515129089355469 × 65536)
    floor (33759.5)     		tx = 33759
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.360343933105469 × 216)
    floor (0.360343933105469 × 65536)
    floor (23615.5)     		ty = 23615
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 33759 / 23615 ti = "16/33759/23615"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/33759/23615.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 33759 ÷ 216
    33759 ÷ 65536     		x = 0.515121459960938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 23615 ÷ 216
    23615 ÷ 65536     		y = 0.360336303710938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.515121459960938 × 2 - 1) × π
    0.030242919921875 × 3.1415926535     		Λ = 0.09501094
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.360336303710938 × 2 - 1) × π
    0.279327392578125 × 3.1415926535     		Φ = 0.877532884444748
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.09501094} λ = 0.09501094}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.877532884444748))-π/2
    2×atan(2.40495906938159)-π/2
    2×1.1767375078086-π/2
    2.3534750156172-1.57079632675     		φ = 0.78267869
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.09501094} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 5.443726°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.78267869 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 44.844186°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 33759 KachelY 23615 0.09501094 0.78267869 5.443726 44.844186
    Oben rechts KachelX + 1 33760 KachelY 23615 0.09510681 0.78267869 5.449219 44.844186
    Unten links KachelX 33759 KachelY + 1 23616 0.09501094 0.78261071 5.443726 44.840291
    Unten rechts KachelX + 1 33760 KachelY + 1 23616 0.09510681 0.78261071 5.449219 44.840291
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.78267869-0.78261071) × R
    6.79799999999675e-05 × 6371000     		dl = 433.100579999793m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.78267869-0.78261071) × R
    6.79799999999675e-05 × 6371000     		dr = 433.100579999793m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.09501094-0.09510681) × cos(0.78267869) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.709027122181862 × 6371000     		do = 433.065094826968m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.09501094-0.09510681) × cos(0.78261071) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.709075058762226 × 6371000     		du = 433.09437390399m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.78267869)-sin(0.78261071))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.709027122181862-0.709075058762226)×R²
    abs(0.09510681-0.09501094)×4.79365803640608e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.79365803640608e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.79365803640608e-05×40589641000000     		ar = 187567.084212214m²