Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 33758 / 23626
↖ ↑ ↗
← N 44.801327°
E  5.438232°		 ← 433.43 m → N 44.801327°
E  5.443726°		 →
↑
433.42 m
↓
↑
433.42 m
↓
N 44.797429°
E  5.438232°		 ← 433.46 m →
187 864 m²		 N 44.797429°
E  5.443726°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 33758 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 23626 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.515113830566406 y=0.360511779785156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.515113830566406 × 216)
    floor (0.515113830566406 × 65536)
    floor (33758.5)     		tx = 33758
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.360511779785156 × 216)
    floor (0.360511779785156 × 65536)
    floor (23626.5)     		ty = 23626
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 33758 / 23626 ti = "16/33758/23626"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/33758/23626.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 33758 ÷ 216
    33758 ÷ 65536     		x = 0.515106201171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 23626 ÷ 216
    23626 ÷ 65536     		y = 0.360504150390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.515106201171875 × 2 - 1) × π
    0.03021240234375 × 3.1415926535     		Λ = 0.09491506
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.360504150390625 × 2 - 1) × π
    0.27899169921875 × 3.1415926535     		Φ = 0.876478272653107
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.09491506} λ = 0.09491506}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.876478272653107))-π/2
    2×atan(2.40242410812358)-π/2
    2×1.17636349460304-π/2
    2.35272698920609-1.57079632675     		φ = 0.78193066
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.09491506} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 5.438232°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.78193066 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 44.801327°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 33758 KachelY 23626 0.09491506 0.78193066 5.438232 44.801327
    Oben rechts KachelX + 1 33759 KachelY 23626 0.09501094 0.78193066 5.443726 44.801327
    Unten links KachelX 33758 KachelY + 1 23627 0.09491506 0.78186263 5.438232 44.797429
    Unten rechts KachelX + 1 33759 KachelY + 1 23627 0.09501094 0.78186263 5.443726 44.797429
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.78193066-0.78186263) × R
    6.80299999999967e-05 × 6371000     		dl = 433.419129999979m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.78193066-0.78186263) × R
    6.80299999999967e-05 × 6371000     		dr = 433.419129999979m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.09491506-0.09501094) × cos(0.78193066) × R
    9.58800000000065e-05 × 0.709554420466097 × 6371000     		do = 433.432367882287m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.09491506-0.09501094) × cos(0.78186263) × R
    9.58800000000065e-05 × 0.709602356207159 × 6371000     		du = 433.46164950066m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.78193066)-sin(0.78186263))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.709554420466097-0.709602356207159)×R²
    abs(0.09501094-0.09491506)×4.79357410619885e-05×R²
    9.58800000000065e-05×4.79357410619885e-05×6371000²
    9.58800000000065e-05×4.79357410619885e-05×40589641000000     		ar = 187864.225480694m²