Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 33757 / 23625
↖ ↑ ↗
← N 44.805225°
E  5.432739°		 ← 433.36 m → N 44.805225°
E  5.438232°		 →
↑
433.42 m
↓
↑
433.42 m
↓
N 44.801327°
E  5.432739°		 ← 433.39 m →
187 832 m²		 N 44.801327°
E  5.438232°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 33757 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 23625 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.515098571777344 y=0.360496520996094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.515098571777344 × 216)
    floor (0.515098571777344 × 65536)
    floor (33757.5)     		tx = 33757
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.360496520996094 × 216)
    floor (0.360496520996094 × 65536)
    floor (23625.5)     		ty = 23625
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 33757 / 23625 ti = "16/33757/23625"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/33757/23625.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 33757 ÷ 216
    33757 ÷ 65536     		x = 0.515090942382812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 23625 ÷ 216
    23625 ÷ 65536     		y = 0.360488891601562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.515090942382812 × 2 - 1) × π
    0.030181884765625 × 3.1415926535     		Λ = 0.09481919
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.360488891601562 × 2 - 1) × π
    0.279022216796875 × 3.1415926535     		Φ = 0.876574146452347
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.09481919} λ = 0.09481919}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.876574146452347))-π/2
    2×atan(2.40265444869184)-π/2
    2×1.17639750729305-π/2
    2.35279501458609-1.57079632675     		φ = 0.78199869
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.09481919} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 5.432739°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.78199869 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 44.805225°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 33757 KachelY 23625 0.09481919 0.78199869 5.432739 44.805225
    Oben rechts KachelX + 1 33758 KachelY 23625 0.09491506 0.78199869 5.438232 44.805225
    Unten links KachelX 33757 KachelY + 1 23626 0.09481919 0.78193066 5.432739 44.801327
    Unten rechts KachelX + 1 33758 KachelY + 1 23626 0.09491506 0.78193066 5.438232 44.801327
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.78199869-0.78193066) × R
    6.80299999999967e-05 × 6371000     		dl = 433.419129999979m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.78199869-0.78193066) × R
    6.80299999999967e-05 × 6371000     		dr = 433.419129999979m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.09481919-0.09491506) × cos(0.78199869) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.70950648144116 × 6371000     		do = 433.357881599983m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.09481919-0.09491506) × cos(0.78193066) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.709554420466097 × 6371000     		du = 433.38716217012m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.78199869)-sin(0.78193066))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.70950648144116-0.709554420466097)×R²
    abs(0.09491506-0.09481919)×4.79390249371603e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.79390249371603e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.79390249371603e-05×40589641000000     		ar = 187831.941473659m²